極限の問題

$f(x)$ が $x=3$ で連続であるための条件は
$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=b$$
が成り立つことである。

必要条件 極限 $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{2x+a}-3}{x-3}$ が有限の値 $b$ になるとする。$\underset{x\to 3}{\lim }(x-3)=0$ であるから，
$$\underset{x\to 3}{\lim }\left(\sqrt{2x+a}-3\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{2x+a}-3}{x-3}\cdot (x-3)=b\cdot 0=0$$
となる。左辺は $\sqrt{6+a}-3$ なので $\sqrt{6+a}=3$ である。両辺を2乗して $6+a=9$ より $a=3$。

十分条件 $a=3$ のとき，$x\ne 3$ では分子を有理化して
$$f(x)=\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}=\frac{(\sqrt{2x+3}-3)(\sqrt{2x+3}+3)}{(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}=\frac{(2x+3)-9}{(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}$$
となる。分子は $2x-6=2(x-3)$ なので，$x-3$ で約分して
$$f(x)=\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}$$
である。よって
$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\frac{2}{\sqrt{9}+3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
となり，極限は確かに存在する。

連続であるためには $b=\frac{1}{3}$ が必要十分である。

したがって $a=3,b=\frac{1}{3}$ であり，
$$a+b=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$$

$x\to 3$ で分母が $0$ に近づくので、極限が存在するには分子も $0$ に近づく必要がある。よって $\sqrt{6+a}-3=0$ より $6+a=9$、$a=3$。

このとき $\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}=\frac{(2x+3)-9}{(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}=\frac{2(x-3)}{(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}=\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}$。

$x\to 3$ で $\frac{2}{3+3}=\frac{1}{3}$。連続なので $b=\frac{1}{3}$。

検算：$a=3$ のとき $x=3.001$ では $\sqrt{9.002}\approx 3.000333$ なので、$(3.000333-3)/0.001\approx 0.333$ となり $b$ と一致する。

よって $a+b=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$。