極限の問題

$\{x^n\}$ の極限は $x$ の値によって変わるので、$0\leqq x<1$、$x>1$、$x=1$ の 3 つの場合に分けて $f(x)$ を求める。

(i) $0\leqq x<1$ のとき

${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$、${\lim }_{n\to \infty }{x}^{n+1}=0$ であるから
$$f(x)=\frac{0+a{x}^2+3}{0+1}=a{x}^2+3$$

(ii) $x>1$ のとき

$x^n\to \infty$ となるので、分母・分子を $x^n$ で割ると
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x+\frac{a{x}^2+3}{x^n}}{1+\frac{1}{x^n}}$$
ここで $0<\frac{1}{x}<1$ より $\frac{1}{x^n}={\left(\frac{1}{x}\right)}^n\to 0$ であるから
$$f(x)=\frac{x+0}{1+0}=x$$

(iii) $x=1$ のとき

$1^n=1$ であるから
$$f(1)=\frac{1+a+3}{1+1}=\frac{a+4}{2}$$

以上より
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+3& (0\leqq x<1)\\ \frac{a+4}{2}& (x=1)\\ x& (x>1)\end{array}$$

$0\leqq x<1$ では $f(x)=a{x}^2+3$、$x>1$ では $f(x)=x$ でどちらも多項式なので連続である。したがって、$f(x)$ が $x\geqq 0$ で連続となる条件は、$x=1$ で連続であること、すなわち
$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=f(1)$$
が成り立つことである。

$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1-0}{\lim }(a{x}^2+3)=a+3,\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1+0}{\lim }x=1$$

左側極限と右側極限が等しいことから $a+3=1$ となり、$a=-2$ である。

このとき $f(1)=\frac{-2+4}{2}=1$ となり、両側の極限 $1$ と一致する。

よって $a=-2$ である。

$x$ の範囲で場合分けして極限を求める。

(i) $0\leqq x<1$ のとき、$x^n\to 0$、$x^{n+1}\to 0$ なので $f(x)=\frac{a{x}^2+3}{1}=a{x}^2+3$。

(ii) $x=1$ のとき、$f(1)=\frac{1+a+3}{2}=\frac{a+4}{2}$。

(iii) $x>1$ のとき、分母分子を $x^n$ で割ると $\frac{x+(a{x}^2+3)/x^n}{1+1/x^n}\to x$ なので $f(x)=x$。

連続性:
$0\leqq x<1$ と $x>1$ では各式が連続なので、$x=1$ で連続であればよい。
- 左側極限: ${\lim }_{x\to 1-0}f(x)=a+3$
- 右側極限: ${\lim }_{x\to 1+0}f(x)=1$
- 関数値: $f(1)=\frac{a+4}{2}$

これらが等しいので、$a+3=1$ より $a=-2$。このとき $f(1)=\frac{-2+4}{2}=1$ で、3つとも一致する。

検算: $a=-2$ のとき、$x<1$ では $f(x)=-2x^2+3$ で $x\to 1$ のとき $1$。$x>1$ では $f(x)=x\to 1$。$f(1)=1$。よって連続。