極限の問題

分子・分母はどちらも $x\to 0$ で $0$ に近づくので、基本の極限の形に直して求める。

基本の極限 1: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2}$

分子と分母に $1+\cos t$ を掛けると
$$\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1-{\cos }^{2}t}{t^2(1+\cos t)}={\left(\frac{\sin t}{t}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos t}$$
となる。$t\to 0$ のとき $\frac{\sin t}{t}\to 1$、$\cos t\to 1$ なので、極限は $1^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ である。

基本の極限 2: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\log (1+t)}{t}=1$

$$\frac{\log (1+t)}{t}=\log (1+t{)}^{\frac{1}{t}}$$
であり、$t\to 0$ のとき $(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\to e$ なので、極限は $\log e=1$ である。

組合せ: 分子では $t=2x$、分母では $t=3x$ とおけるように変形する。
$$\frac{1-\cos 2x}{x\log (1+3x)}=\frac{\frac{1-\cos 2x}{(2x{)}^2}\cdot 4x^2}{x\cdot \frac{\log (1+3x)}{3x}\cdot 3x}=\frac{4}{3}\cdot \frac{\frac{1-\cos 2x}{(2x{)}^2}}{\frac{\log (1+3x)}{3x}}$$
$x\to 0$ のとき $2x\to 0$、$3x\to 0$ なので、基本の極限 1, 2 より
$$\frac{1-\cos 2x}{(2x{)}^2}\to \frac{1}{2},\frac{\log (1+3x)}{3x}\to 1$$
したがって
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x\log (1+3x)}=\frac{4}{3}\cdot \frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{2}{3}$$

$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ なので、
$$\frac{1-\cos 2x}{x\log (1+3x)}=\frac{2{\sin }^{2}x}{x\log (1+3x)}=2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{x}{\log (1+3x)}.$$
ここで $\frac{x}{\log (1+3x)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3x}{\log (1+3x)}$ であり、$x\to 0$ で $\frac{\sin x}{x}\to 1$、$\frac{\log (1+3x)}{3x}\to 1$ なので、$\frac{3x}{\log (1+3x)}\to 1$。
よって極限値は $2\cdot 1^2\cdot \frac{1}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}$。

検算：$x=0.01$ のとき、分子 $1-\cos 0.02\approx 0.0001999867$、分母 $0.01\cdot \log 1.03=0.01\cdot 0.0295588=0.000295588$。比は約 $0.6766$。$x$ をさらに小さくすると $2/3$ に近づく（$x=0.001$ では約 $0.6672$）。これは $2/3$ と整合する。