極限の問題

自然対数の底 $e$ の定義 $$e=\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{\frac{1}{h}}$$ が使える形に変形する。

手順1：置き換える

$(1+3x)$ の中の $3x$ を $h$ とおく。$h=3x$ とすると $x=\frac{h}{3}$ であり、$x\to 0$ のとき $h\to 0$ である。

手順2：指数を $\frac{1}{h}$ を含む形にする

$$\frac{1}{2x}=\frac{1}{2\cdot \frac{h}{3}}=\frac{3}{2h}=\frac{1}{h}\cdot \frac{3}{2}$$
なので、指数法則 $a^{pq}=(a^p{)}^q$ を用いて
$$(1+3x{)}^{\frac{1}{2x}}=(1+h{)}^{\frac{1}{h}\cdot \frac{3}{2}}={\left\{(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\right\}}^{\frac{3}{2}}$$
と書ける。

手順3：$e$ の定義を使う

$h\to 0$ のとき $(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\to e$ であるから
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{2x}}=\underset{h\to 0}{\lim }{\left\{(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\right\}}^{\frac{3}{2}}=e^{\frac{3}{2}}$$

よって、求める極限値は $e^{\frac{3}{2}}$（$=e\sqrt{e}$）である。

$t=3x$ とおくと、$x\to 0$ のとき $t\to 0$ であり、$\frac{1}{2x}=\frac{3}{2t}$ である。したがって $(1+3x{)}^{\frac{1}{2x}}={\left\{(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\right\}}^{\frac{3}{2}}$。${\lim }_{t\to 0}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$ より、極限値は $e^{\frac{3}{2}}$ である。
検算：$\log$ をとると $\frac{\log (1+3x)}{2x}\to \frac{3}{2}$ （$\log (1+3x)\approx 3x$ より）となり、一致する。