極限の問題

自然対数の底 $e$ の定義
$$e=\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{\frac{1}{h}}$$
が使える形に変形します。

手順1：$1+(\text{何か})$ の「何か」を $h$ とおく。
$3x=h$ とおくと、$x=\frac{h}{3}$ です。また、$x\to 0$ のとき $h\to 0$ です。

手順2：指数を $\frac{1}{h}$ を含む形に書き直す。
$\frac{1}{x}=\frac{3}{h}$ なので、指数法則 $a^{mn}=(a^m{)}^n$ を使って
$${\left(1+3x\right)}^{\frac{1}{x}}=(1+h{)}^{\frac{3}{h}}={\left\{(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\right\}}^3$$
となります。

手順3：$e$ の定義を使う。
$h\to 0$ のとき $(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\to e$ なので、その 3 乗は $e^3$ に近づきます。よって
$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+3x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{h\to 0}{\lim }{\left\{(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\right\}}^3=e^3$$

答えは $e^3$ です。

$t=3x$ とおくと、$x\to 0$ のとき $t\to 0$ であり、$\frac{1}{x}=\frac{3}{t}$ である。したがって
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{t\to 0}{\lim }{\left\{(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\right\}}^3=e^3$$
$e$ の定義 ${\lim }_{t\to 0}(1+t{)}^{1/t}=e$ を用いた。
検算：両辺の対数をとると $\frac{\log (1+3x)}{x}=3\cdot \frac{\log (1+3x)}{3x}\to 3\cdot 1=3$ となり、極限は $e^3$ である。$x=0.001$ のとき $1.003^{1000}\approx e^{2.9955}\approx 19.99$、$e^3\approx 20.09$ で、おおむね一致する。