極限の問題

自然対数の底 $e$ は
$$e=\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{\frac{1}{h}}$$
で定められます。与えられた式をこの形に直すことを考えます。

手順1：$(1+h)$ の形をつくる

$h=3x$ とおきます。$x\to 0$ のとき $h\to 0$ です。また、$x\ne 0$ のとき $h\ne 0$ です。

手順2：指数を $h$ で書き直す

$x=\frac{h}{3}$ なので $\frac{1}{x}=\frac{3}{h}$ です。よって
$$(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}=(1+h{)}^{\frac{3}{h}}={\left\{(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\right\}}^3$$
となります。

手順3：$e$ の定義を使う

$h\to 0$ のとき $(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\to e$ です。したがって、その 3 乗は $e^3$ に近づきます。
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{h\to 0}{\lim }{\left\{(1+h{)}^{\frac{1}{h}}\right\}}^3=e^3$$

答えは $e^3$ です。

$t=3x$ とおくと、$x\to 0$ のとき $t\to 0$ であり、$\frac{1}{x}=\frac{3}{t}$ である。したがって $(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}=(1+t{)}^{\frac{3}{t}}={\left\{(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\right\}}^3$ となる。${\lim }_{t\to 0}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$ より、求める極限値は $e^3$ である。
検算：$\log$ をとると $\frac{\log (1+3x)}{x}\to 3$（$\log (1+u)\sim u$）となり、極限値は $e^3$ で一致する。