極限の問題

$n$ が平方数のときの $S_n$. 正の整数 $m$ に対して $S_{m^2}$ を求める。

正の整数 $j$ について、$j^2\le k\le (j+1{)}^2-1$ のとき $j\le \sqrt{k}<j+1$ なので $\left[\sqrt{k}\right]=j$ であり、このような $k$ は $(j+1{)}^2-j^2=2j+1$ 個ある。$k=1,2,\dots ,m^2$ を $j=1,2,\dots ,m-1$ のブロックと最後の $k=m^2$（$\left[\sqrt{m^2}\right]=m$）に分けると
$$S_{m^2}=\sum _{j=1}^{m-1}j(2j+1)+m=2\cdot \frac{(m-1)m(2m-1)}{6}+\frac{(m-1)m}{2}+m.$$
整理すると
$$S_{m^2}=\frac{2m^3-3m^2+m}{3}+\frac{m^2-m}{2}+m=\frac{2}{3}{m}^3-\frac{1}{2}{m}^2+\frac{5}{6}m.$$
（確認: $m=1$ で $1$、$m=2$ で $1+1+1+2=5$ となり一致する。）

よって $S_{m^2}=m^3\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2m}+\frac{5}{6m^2}\right)$ である。

一般の $n$ ではさみうち. $n$ に対して $m=\left[\sqrt{n}\right]$ とおくと $m$ は正の整数で
$$m^2\le n<(m+1{)}^2,m\le \sqrt{n}<m+1.$$
各項 $\left[\sqrt{k}\right]$ は $0$ 以上なので $S_n$ は $n$ について増加し、
$$S_{m^2}\le S_n\le S_{(m+1{)}^2}.$$
また $m^3\le n\sqrt{n}<(m+1{)}^3$ である。したがって
$$\frac{S_{m^2}}{(m+1{)}^3}<\frac{S_n}{n\sqrt{n}}\le \frac{S_{(m+1{)}^2}}{m^3}.$$

$n\to \infty$ のとき $m\to \infty$ である。左辺は
$$\frac{S_{m^2}}{(m+1{)}^3}={\left(\frac{m}{m+1}\right)}^3\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2m}+\frac{5}{6m^2}\right)\to 1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3},$$
右辺は $M=m+1$ とおくと
$$\frac{S_{M^2}}{m^3}={\left(\frac{m+1}{m}\right)}^3\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2M}+\frac{5}{6M^2}\right)\to 1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$$
よって、はさみうちの原理により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{n\sqrt{n}}=\frac{2}{3}.$$

$m^2\le k<(m+1{)}^2$ のとき $[\sqrt{k}]=m$ で、このような $k$ は $2m+1$ 個ある。$m\ge 2$ を取り、$n$ に対し $m^2\le n<(m+1{)}^2$ となる整数 $m$ をとる（$m=[\sqrt{n}]$）。\n\n$S_{m^2-1}={\sum }_{j=1}^{m-1}j(2j+1)=2\cdot \frac{(m-1)m(2m-1)}{6}+\frac{(m-1)m}{2}$。これは $\frac{2}{3}{m}^3$ を主要項とする $m$ の 3 次式で、$\frac{S_{m^2-1}}{m^3}\to \frac{2}{3}$。\n\n$S_n$ は $S_{m^2-1}$ に $m$ の項を高々 $2m+1$ 個加えたものなので、$S_{m^2-1}\le S_n\le S_{m^2-1}+m(2m+1)$。$m^2\le n<(m+1{)}^2$ より $m\le \sqrt{n}<m+1$ で $n\sqrt{n}\sim m^3$（$\frac{n\sqrt{n}}{m^3}\to 1$）。したがって $\frac{S_n}{n\sqrt{n}}\to \frac{2}{3}$。\n\n別解（区分求積）: $\sqrt{k}-1<[\sqrt{k}]\le \sqrt{k}$ より $\sum \sqrt{k}-n<S_n\le \sum \sqrt{k}$。$\frac{1}{n\sqrt{n}}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}=\frac{1}{n}\sum \sqrt{k/n}\to {\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$、$\frac{n}{n\sqrt{n}}\to 0$ なので、はさみうちで $\frac{2}{3}$。\n\n検算: $n=10^4$ のとき $S_n\approx \frac{2}{3}\cdot 10^6$ 程度で、比は $\approx 0.667$ に近い。