和の各項の評価によるはさみうち

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}}$ のような和の各項を分母を $n^{3}$ と $n^{3} + n^{2}$ で置き換えるなどして上下から評価し、 $\sum k^{2}$ の公式とはさみうちの原理で和の極限を求められる

前提

数列の極限（数学III 極限）

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算数中学高校大学大学院

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数列の極限（数学III 極限）

説明

分母に $k$ を含むために $Σ$ の公式がそのままでは使えない和について、 $n \to \infty$ のときの極限を求める技能です。各項を、 $k$ を含まない分母を持つ式で上下からはさみ、その和を $\sum k$ や $\sum k^{2}$ の公式で計算します。上下の和が同じ値に近づけば、はさみうちの原理でもとの和の極限が決まります。

なぜそうしてよいのか

たとえば $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}}$ は、分母が項ごとに $n^{3} + 1, n^{3} + 4, \dots$ と変わるので、 $Σ$ の公式では計算できません。しかし、もし分母が $k$ によらない一定の値なら、 $\frac{1}{( 一定の値 )} \sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ として公式が使えます。そこで、分母の中の $k^{2}$ を、 $k$ の動く範囲 $1 \leq k \leq n$ での最小・最大の側に置き換えます。 $0 < k^{2} \leq n^{2}$ なので $n^{3} < n^{3} + k^{2} \leq n^{3} + n^{2}$ であり、分子が正のとき分母が大きいほど分数は小さいので $\frac{k ^{2}}{n ^{3} + n ^{2}} \leq \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}} < \frac{k ^{2}}{n ^{3}}$ が成り立ちます。

この不等式は $k = 1, 2, \dots, n$ のすべてで成り立つので、 $n$ 個を辺ごとに足しても向きは保たれ、 $S_{n}$ は $k$ を含まない分母の 2 つの和ではさまれます。分母の置き換えで生じるずれは $n^{3}$ と $n^{3} + n^{2}$ の違いで、その比 $\frac{n ^{3} + n ^{2}}{n ^{3}} = 1 + \frac{1}{n}$ は $1$ に近づきます。つまり $n$ が大きいとき、置き換えによる誤差は相対的に無視できるほど小さくなり、上下の和は同じ値に近づきます。そこで、はさみうちの原理（ $a_{n} \leq S_{n} \leq b_{n}$ かつ $a_{n}, b_{n}$ が同じ値 $α$ に収束すれば $S_{n} \to α$ ）が使えるのです。

手順

和を難しくしている部分（多くは分母に含まれる $k$ ）について、 $1 \leq k \leq n$ から取りうる範囲を不等式で書く。例: $n^{3} < n^{3} + k^{2} \leq n^{3} + n^{2}$
その範囲を使って各項を上下から評価する。分子が正なら、分母が大きい方が小さい値になることに注意する。例: $\frac{k ^{2}}{n ^{3} + n ^{2}} \leq \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}} < \frac{k ^{2}}{n ^{3}}$
不等式を $k = 1$ から $n$ まで足す。 $k$ を含まない分母は $Σ$ の外に出し、 $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n + 1)$ 、 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ などの公式で計算する
上下の式の極限をそれぞれ求め（最高次の $n$ で分母分子を割るなど）、同じ値になることを確かめてはさみうちの原理で結論する

例題

極限 $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}}$ を求めよ。

例題の解答

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}}$ とおく。

【手順1】 $1 \leq k \leq n$ より $1 \leq k^{2} \leq n^{2}$ なので、 $n^{3} < n^{3} + k^{2} \leq n^{3} + n^{2}$ 。

【手順2】分子 $k^{2} > 0$ なので、分母が大きいほど値は小さい。よって各 $k$ について
$\frac{k ^{2}}{n ^{3} + n ^{2}} \leq \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}} < \frac{k ^{2}}{n ^{3}}$

【手順3】 $k = 1$ から $n$ まで足すと、分母 $n^{3} + n^{2}$ 、 $n^{3}$ は $k$ によらないので $Σ$ の外に出せて
$\frac{1}{n ^{3} + n ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} \leq S_{n} < \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n k^{2}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ を代入する。左辺は $n^{3} + n^{2} = n^{2} (n + 1)$ より
$\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2} ( n + 1 )} = \frac{2 n + 1}{6 n} = \frac{1}{6} (2 + \frac{1}{n})$
右辺は
$\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{3}} = \frac{1}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})$

【手順4】 $n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、左辺 $\to \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3}$ 、右辺 $\to \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{1}{3}$ 。上下が同じ値 $\frac{1}{3}$ に収束するので、はさみうちの原理より
$n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{3}$

答え: $\frac{1}{3}$

よくある誤り

各項 $\frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}}$ が $0$ に近づくから和も $0$ としてしまう誤り。項の個数 $n$ も増えていくので、各項の極限を足すことはできない。正しくは和を上下からはさんで $\frac{1}{3}$ を得る。
分母を大きくすると分数も大きくなると考え、 $\frac{k ^{2}}{n ^{3} + n ^{2}} \geq \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}}$ のように不等号の向きを逆にしてしまう誤り。正しくは分子が正なので $\frac{k ^{2}}{n ^{3} + n ^{2}} \leq \frac{k ^{2}}{n ^{3} + k ^{2}} < \frac{k ^{2}}{n ^{3}}$ 。
分子の $k^{2}$ まで $n^{2}$ に置き換えて $S_{n} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{n ^{2}}{n ^{3}} = 1$ のようにしてしまう誤り。上の評価が $1$ 、下の評価が $\frac{1}{3}$ に近づくなど上下の極限が一致せず、はさみうちが使えない。正しくは極限に効く分子の $k^{2}$ は残し、分母だけを $k$ によらない式に置き換える。
上下の式の極限を確かめずに、片側の極限だけで結論してしまう誤り。はさみうちの原理は、 $a_{n} \leq S_{n} \leq b_{n}$ で $lim a_{n} = lim b_{n}$ のときにだけ使える。正しくは $\frac{2 n + 1}{6 n} \to \frac{1}{3}$ と $\frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} \to \frac{1}{3}$ の両方を確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

和の各項の評価によるはさみうち

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