極限の問題

方針 和 $S_n$ はこのままでは計算できません。そこで各項の分母にある $k^2$ を、$k$ を含まない式で置き換えて上下から評価します。こうすると和は $\sum k^2$ の公式で計算でき、はさみうちの原理が使えます。

手順1：各項を上下から評価する

$1\leqq k\leqq n$ のとき $0<k^2\leqq n^2$ なので、
$$2n^3<2n^3+k^2\leqq 2n^3+n^2$$
が成り立ちます。分子 $k^2$ は正なので、分母が大きいほど値は小さくなります。よって
$$\frac{k^2}{2n^3+n^2}\leqq \frac{k^2}{2n^3+k^2}<\frac{k^2}{2n^3}$$
です。

手順2：$k=1$ から $n$ まで足す

両端の式では分母が $k$ によらない定数です。そのため、分母を $\Sigma$ の外に出せます。
$$\frac{1}{2n^3+n^2}\sum _{k=1}^n{k}^2\leqq S_n<\frac{1}{2n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2$$
ここで $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を使います。

左辺は次のようになります。
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2(2n+1)}=\frac{n+1}{6n}=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)$$

右辺は次のようになります。
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{12n^3}=\frac{1}{12}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)$$

したがって、
$$\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\leqq S_n<\frac{1}{12}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)$$
です。

手順3：はさみうちの原理を使う

$n\to \infty$ のとき $\frac{1}{n}\to 0$ です。よって左辺は $\frac{1}{6}$ に、右辺は $\frac{1}{12}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{6}$ に収束します。両端が同じ値に収束するので、はさみうちの原理により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{6}$$
です。

$k=1,\dots ,n$ のとき $0<k^2\le n^2$ なので、
$$\frac{k^2}{2n^3+n^2}\le \frac{k^2}{2n^3+k^2}\le \frac{k^2}{2n^3}$$
が成り立つ。
$k=1$ から $n$ まで足し、${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使うと、
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(2n^3+n^2)}\le S_n\le \frac{n(n+1)(2n+1)}{12n^3}$$
右辺は $\frac{1}{12}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\to \frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ に収束する。
左辺は $\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6(2+\frac{1}{n})}=\frac{1+\frac{1}{n}}{6}\to \frac{1}{6}$ に収束する。
はさみうちの原理より $\lim S_n=\frac{1}{6}$。
検算として、$S_n$ を区分求積で見ると、各項は $\frac{k^2}{2n^3}$ にほぼ等しく、$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\sum {\left(\frac{k}{n}\right)}^2\to \frac{1}{2}{\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{6}$ となり一致する。