極限の問題

方針 和 $S_n$ はこのままでは計算できない。そこで各項の分母に含まれる $k$ を、$k$ を含まない式に置き換えて上下から評価する。こうすると和を $\sum k^2$ の公式で計算でき、はさみうちの原理が使える。

各項の評価 $k=1,2,\dots ,n$ のとき $1\leqq k\leqq n$ である。したがって分母について
$$n^3<n^3+k\leqq n^3+n$$
が成り立つ。分子 $k^2$ は正なので、分母が大きいほど分数は小さくなる。よって
$$\frac{k^2}{n^3+n}\leqq \frac{k^2}{n^3+k}<\frac{k^2}{n^3}$$
となる。

和をとる この不等式を $k=1$ から $n$ まで加える。左右の分母は $k$ を含まないので、$\sum$ の外に出せる。
$$\frac{1}{n^3+n}\sum _{k=1}^n{k}^2\leqq S_n<\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2$$
$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を代入する。

右辺は
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)$$
であり、$n\to \infty$ のとき $\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{3}$ に収束する。

左辺は
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+n)}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6(n^2+1)}=\frac{1}{6}\cdot \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{1+\frac{1}{n^2}}$$
であり、$n\to \infty$ のとき $\frac{1}{6}\cdot \frac{1\cdot 2}{1}=\frac{1}{3}$ に収束する。

はさみうち 両側がともに $\frac{1}{3}$ に収束するので、はさみうちの原理により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{3}$$
である。

各 $k$ ($1\le k\le n$) について $n^3<n^3+k\le n^3+n$ なので、
$$\frac{k^2}{n^3+n}\le \frac{k^2}{n^3+k}\le \frac{k^2}{n^3}$$
$k=1,\dots ,n$ で和をとると、${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+n)}\le S_n\le \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$$
右辺は $\frac{(1+1/n)(2+1/n)}{6}\to \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
左辺は $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n(n^2+1)}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6(n^2+1)}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2+6}\to \frac{1}{3}$。
はさみうちの原理より $\lim S_n=\frac{1}{3}$。
検算：区分求積法で $S_n\approx \frac{1}{n}\sum (k/n{)}^2\to {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ となり一致する。