極限の問題

方針 和 $S_n$ はそのままでは計算できません。そこで、各項の分母 $n^3+k$ を $k$ を含まない式で上下から押さえ、$\sum k^2$ の公式で計算できる和ではさみます。

手順1：各項を評価する
$k=1,2,\dots ,n$ のとき $1\le k\le n$ なので
$$n^3<n^3+k\le n^3+n$$
です。分子 $k^2$ は正なので、分母が大きいほど値は小さくなり
$$\frac{k^2}{n^3+n}\le \frac{k^2}{n^3+k}<\frac{k^2}{n^3}$$
が成り立ちます。

手順2：$k=1$ から $n$ まで加える
$$\frac{1}{n^3+n}\sum _{k=1}^n{k}^2\le S_n<\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2$$
ここで $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いると
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n(n^2+1)}\le S_n<\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$$
すなわち
$$\frac{(n+1)(2n+1)}{6(n^2+1)}\le S_n<\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$

手順3：両側の極限を求める
分母・分子を $n^2$ で割ると
$$\frac{(n+1)(2n+1)}{6(n^2+1)}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{6\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\to \frac{1\cdot 2}{6}=\frac{1}{3}(n\to \infty )$$
$$\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{6}\to \frac{1}{3}(n\to \infty )$$

手順4：はさみうちの原理
左右の式がともに $\frac{1}{3}$ に収束するので、はさみうちの原理により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{3}$$

区分求積法とはさみうちの原理を用いる。

$k=1,\dots ,n$ に対して $n^3<n^3+k\le n^3+n$ であるから、
$$\frac{k^2}{n^3+n}\le \frac{k^2}{n^3+k}<\frac{k^2}{n^3}.$$
$k$ について $1$ から $n$ まで足すと、${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+n)}\le S_n<\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}.$$

右辺は
$$\frac{(1+1/n)(2+1/n)}{6}\to \frac{2}{6}=\frac{1}{3}(n\to \infty ).$$

左辺は
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n(n^2+1)}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6(n^2+1)}=\frac{(1+1/n)(2+1/n)}{6(1+1/n^2)}\to \frac{1}{3}.$$

はさみうちの原理より $\lim S_n=\frac{1}{3}$。

検算：区分求積法では $S_n\approx \frac{1}{n}\sum (k/n{)}^2\to {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ となり一致する。