極限の問題

方針：分子と分母はどちらも $n\to \infty$ で $\infty$ に発散するので、このままでは $\frac{\infty }{\infty }$ の不定形になる。そこで、まず分子の和を $n$ の式で表し、分母の最高次の項 $n^3$ で分子と分母を割る。

手順 1：分子の和を計算する

$$1^2+2^2+\cdots +n^2=\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

展開すると $n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n$ なので、
$$\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{2n^3+5}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6(2n^3+5)}$$
となる。

手順 2：分母の最高次の $n^3$ で分子・分母を割る

$$\frac{2n^3+3n^2+n}{6(2n^3+5)}=\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6\left(2+\frac{5}{n^3}\right)}$$

手順 3：極限をとる

$n\to \infty$ のとき $\frac{3}{n}\to 0$、$\frac{1}{n^2}\to 0$、$\frac{5}{n^3}\to 0$ である。よって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6\left(2+\frac{5}{n^3}\right)}=\frac{2+0+0}{6(2+0)}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

したがって、求める極限値は $\frac{1}{6}$ である。

$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ なので、
$$\frac{1^2+\cdots +n^2}{2n^3+5}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(2n^3+5)}.$$
分子分母を $n^3$ で割ると
$$\frac{1\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{6\left(2+\frac{5}{n^3}\right)}\to \frac{1\cdot 1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{1}{6}.$$
検算: $n=100$ のとき、分子は $338350$、分母は $2000005$ で、比は約 $0.1692$。これは $\frac{1}{6}\approx 0.1667$ に近い。$n$ を大きくすると $\frac{1}{6}$ に近づくので、極限値は $\frac{1}{6}$。