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極限の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 極限

次の極限値を求めよ。 $x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{2 x}$

この問題で使うもの

$sin x / x$ の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$ を使います。

ヒント 2

$sin 5 x$ に対しては、分母が $5 x$ になるように式を変形します。 $θ = 5 x$ とおくと、 $x \to 0$ のとき $θ \to 0$ です。

ヒント 3

$\frac{sin 5 x}{2 x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{sin 5 x}{5 x}$ と変形できます。

答えと解説

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\frac{5}{2}

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解説を読む

公式 $θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$ を使います。この公式を使うには、分母を $sin$ の中身と同じ $5 x$ の形にそろえる必要があります。

分母と分子に $5$ を掛けて、次のように変形します。
$\frac{sin 5 x}{2 x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{sin 5 x}{5 x}$

ここで $θ = 5 x$ とおくと、 $x \to 0$ のとき $θ \to 0$ です。よって
$x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{5 x} = θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$

したがって
$x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{2 x} = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2}$

別解

$\frac{s i n 5 x}{2 x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{s i n 5 x}{5 x}$ と変形する。 $x \to 0$ のとき $5 x \to 0$ なので $lim \frac{s i n 5 x}{5 x} = 1$ 。よって極限値は $\frac{5}{2}$ 。検算： $x = 0.01$ のとき $sin 0.05 \approx 0.049979$ 、これを $0.02$ で割ると約 $2.499$ で、 $\frac{5}{2}$ に近い。

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