極限の問題

整数でない点での連続性. $x$ が整数でないとき、$x$ を含む開区間 $(k,k+1)$（$k$ は整数）で $[x]=k$ は一定であり、$f(x)=k^2+(x-k)(ak+b)$ は $x$ の 1 次式（または定数）なので連続である。したがって、問題になるのは整数の点だけである。

整数 $k$ での連続性. $k$ を整数とする。
- $f(k)=k^2+0\cdot (ak+b)=k^2$。
- 右側極限: $k\le x<k+1$ では $[x]=k$ なので $\underset{x\to k+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to k+0}{\lim }\{k^2+(x-k)(ak+b)\}=k^2$。
- 左側極限: $k-1\le x<k$ では $[x]=k-1$ なので
$$\underset{x\to k-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to k-0}{\lim }\left\{(k-1{)}^2+\left(x-(k-1)\right)\left(a(k-1)+b\right)\right\}=(k-1{)}^2+a(k-1)+b.$$

$f(x)$ が $x=k$ で連続である条件は、左側極限・右側極限・$f(k)$ が一致すること、すなわち
$$(k-1{)}^2+a(k-1)+b=k^2⟺a(k-1)+b=2k-1$$
である。これがすべての整数 $k$ で成り立つ必要がある。$k=1$ とすると $b=1$、$k=2$ とすると $a+b=3$ より $a=2$。逆に $a=2,b=1$ のとき $2(k-1)+1=2k-1$ はすべての整数 $k$ で成り立つ。よって $a=2,b=1$ であり
$$f(x)=[x{]}^2+\left(x-[x]\right)\left(2[x]+1\right).$$

$f(x)=12$ の正の解. $x>0$ のとき、$k=[x]$ は $0$ 以上の整数で、$k\le x<k+1$ において
$$f(x)=k^2+(x-k)(2k+1)$$
は傾き $2k+1>0$ の 1 次関数であり、$f(k)=k^2$ から左側極限 $k^2+(2k+1)=(k+1{)}^2$ まで増加する。$f$ は連続なので、$x\ge 0$ で $f(x)$ は単調に増加し、$f(n)=n^2$（$n=0,1,2,\dots$）である。

$9<12<16$ より、$f(x)=12$ となる正の $x$ は $3<x<4$ にただ 1 つある。この範囲では $[x]=3$ なので
$$9+(x-3)\cdot 7=12⟺x-3=\frac{3}{7}⟺x=\frac{24}{7}.$$

よって求める $x$ は $\frac{24}{7}$ である。

整数 $n$ に対し $n\le x<n+1$ では $[x]=n$ なので $f(x)=n^2+(x-n)(an+b)$ で、これは連続。連続性が問題になるのは整数点のみ。\n\n$x=n+1$ での左極限は ${\lim }_{x\to (n+1)-0}f(x)=n^2+an+b$、関数値は $f(n+1)=(n+1{)}^2$。連続であるためには、すべての整数 $n$ について $n^2+an+b=(n+1{)}^2$、すなわち $an+b=2n+1$ が成り立つ必要がある。これがすべての整数 $n$ で成り立つので $a=2,b=1$（$n=0,1$ から $b=1,a+b=3$）。逆にこのとき連続である。\n\nよって $n\le x<n+1$ で $f(x)=n^2+(x-n)(2n+1)$。これは区間内で単調増加（$2n+1>0$ すなわち $n\ge 0$）で、$f(n)=n^2$、$f(n+1)=(n+1{)}^2$。$x>0$ で $f(x)=12$ とすると $9\le 12<16$ より $3\le x<4$、$n=3$。$9+7(x-3)=12$ より $x-3=\frac{3}{7}$、$x=\frac{24}{7}$。\n\n検算: $x=\frac{24}{7}$ のとき $[x]=3$、$x-[x]=\frac{3}{7}$、$f=9+\frac{3}{7}(2\cdot 3+1)=9+3=12$。