極限の問題

$f(x)=x^3+x-20$ とおく。

手順 1：連続性を確かめる
$f(x)$ は多項式で表される関数なので、すべての実数 $x$ で連続である。したがって、どの閉区間 $[n,n+1]$ においても連続である。

手順 2：整数での値を調べ、符号が変わるところを探す
$$f(1)=1+1-20=-18<0$$
$$f(2)=8+2-20=-10<0$$
$$f(3)=27+3-20=10>0$$
$f(2)$ と $f(3)$ の符号が異なる。

手順 3：中間値の定理を使う
$f(x)$ は閉区間 $[2,3]$ で連続で、$f(2)<0<f(3)$ である。よって中間値の定理により、$f(c)=0$ かつ $2<c<3$ を満たす実数 $c$ が少なくとも 1 つ存在する。$f(2)\ne 0$, $f(3)\ne 0$ なので、この $c$ は端点 $2,3$ ではない。

手順 4：解の一意性から結論する
方程式の実数解はただ 1 つなので、$\alpha =c$ であり、$2<\alpha <3$ が成り立つ。

したがって $n=2$ である。

$f(x)=x^3+x-20$ とおく。$f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ より $f$ は単調増加で、実数解はただ 1 つである。
$f(2)=8+2-20=-10<0$、$f(3)=27+3-20=10>0$ なので、中間値の定理より $2<\alpha <3$ である。
検算：$f$ は単調増加なので、$f(2)<0<f(3)$ から $\alpha$ は 2 と 3 の間にあり、$n=2$ とわかる。