極限の問題

$f(x)=x^3+2x-20$ とおく。

手順1：連続性を確かめる
$f(x)$ は多項式で表される関数なので、すべての実数 $x$ で連続である。したがって、どの閉区間 $n\le x\le n+1$ でも連続であり、中間値の定理が使える。

手順2：整数での値を調べる
$$f(0)=-20,f(1)=1+2-20=-17,f(2)=8+4-20=-8,f(3)=27+6-20=13$$
$f(2)=-8<0$、$f(3)=13>0$ であり、ここで初めて符号が変わる。

手順3：中間値の定理を使う
$f(x)$ は閉区間 $2\le x\le 3$ で連続で、$f(2)<0<f(3)$ である。よって中間値の定理により、$f(c)=0$ かつ $2<c<3$ を満たす $c$ が存在する。

手順4：解がただ 1 つであることを使う
問題文より、実数解はただ 1 つなので $\alpha =c$ である。（なお、$x^3$ も $2x$ も $x$ が増えると増えるので、$f(x)$ は増加する関数であり、実数解がただ 1 つであることも確かめられる。）

したがって $2<\alpha <3$ となり、$n=2$ である。

$f(x)=x^3+2x-20$ とおく。$f^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ なので $f$ は単調増加であり、実数解はただ 1 つである。
$f(2)=8+4-20=-8<0$、$f(3)=27+6-20=13>0$ である。中間値の定理より $2<\alpha <3$ なので、$n=2$。
検算：$f(2.5)=15.625+5-20=0.625>0$ なので $\alpha$ は約 2.4 であり、2 と 3 の間にある。