極限の問題

$f(x)=x^3+2x-20$ とおく。

手順 1：連続性を確認する。 $f(x)$ は多項式で表された関数なので、すべての実数 $x$ で連続である。特に、どの閉区間 $[n,n+1]$ でも連続である。

手順 2：整数での値を計算し、符号が変わる所を探す。
$$f(2)=2^3+2\cdot 2-20=8+4-20=-8<0$$
$$f(3)=3^3+2\cdot 3-20=27+6-20=13>0$$

手順 3：中間値の定理を使う。 $f(x)$ は閉区間 $[2,3]$ で連続で、$f(2)<0<f(3)$ であるから、中間値の定理により $f(c)=0$ となる $c$ が開区間 $2<c<3$ に少なくとも 1 つ存在する。

手順 4：結論。 方程式 $f(x)=0$ の実数解はただ 1 つなので、その解 $\alpha$ はこの $c$ に一致する。すなわち $2<\alpha <3$ である。

よって、$n<\alpha <n+1$ を満たす整数は $n=2$ である。

（参考：$x^3$ も $2x$ も $x$ が増えると値が増えるので、$f(x)$ は増加する関数であり、実数解がただ 1 つであることも確かめられる。）

$f(x)=x^3+2x-20$ とおく。$f^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ より $f$ は単調増加で、実数解はただ 1 つ。
$f(2)=8+4-20=-8<0$、$f(3)=27+6-20=13>0$。
中間値の定理より $2<\alpha <3$ なので $n=2$。
検算：$f(2.5)=15.625+5-20=0.625>0$ なので $\alpha <2.5$ で、$2<\alpha <3$ と矛盾しない。