極限の問題

補助の関数を導入する $0<t<\pi$ に対して
$$q(t)=\frac{tf(t)}{\sin t}$$
とおく（$0<t<\pi$ で $\sin t>0$）。

$0<t<\frac{\pi }{2}$ のとき、与えられた等式で $x=t$ とし、両辺に $2t$ を掛けると
$$2tf(2t)=2t\cos t\cdot f(t)+3t^2\sin 2t$$
$0<2t<\pi$ より $\sin 2t=2\sin t\cos t>0$ なので、両辺を $\sin 2t$ で割ると
$$\frac{2tf(2t)}{\sin 2t}=\frac{2t\cos t\cdot f(t)}{2\sin t\cos t}+3t^2$$
すなわち
$$q(2t)=q(t)+3t^2\left(0<t<\frac{\pi }{2}\right)(1)$$

くり返し用いる $x=\frac{\pi }{2}$ とし、$k=1,2,\dots ,n$ に対して $(1)$ で $t=\frac{x}{2^k}$ とおくと
$$q\left(\frac{x}{2^{k-1}}\right)-q\left(\frac{x}{2^k}\right)=3\cdot \frac{x^2}{4^k}$$
これを $k=1$ から $n$ まで加えると、左辺は打ち消し合って
$$q(x)-q\left(\frac{x}{2^n}\right)=3x^2\sum _{k=1}^n\frac{1}{4^k}=3x^2\cdot \frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)}{1-\frac{1}{4}}=x^2\left(1-\frac{1}{4^n}\right)(2)$$

連続性を使う $s_n=\frac{x}{2^n}$ とおくと $n\to \infty$ で $s_n\to 0$ であり、
$$q(s_n)=\frac{s_n}{\sin s_n}\cdot f(s_n)$$
ここで ${\lim }_{s\to 0}\frac{\sin s}{s}=1$ であり、$f$ は $x=0$ で連続だから $f(s_n)\to f(0)=1$。よって $q(s_n)\to 1$。

$(2)$ で $n\to \infty$ とすると
$$q(x)=1+x^2$$

値を求める $x=\frac{\pi }{2}$ で $q\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\frac{\pi }{2}f\left(\frac{\pi }{2}\right)}{\sin \frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ だから
$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2}{\pi }\left(1+\frac{{\pi }^2}{4}\right)=\frac{{\pi }^2+4}{2\pi }$$

（参考）同様にして $x\ne 0$ で $f(x)=\frac{(1+x^2)\sin x}{x}$ となり、実際に $f(2x)=\frac{(1+4x^2)\sin x\cos x}{x}$、$f(x)\cos x+\frac{3}{2}x\sin 2x=\frac{(1+x^2)\sin x\cos x}{x}+3x\sin x\cos x=\frac{(1+4x^2)\sin x\cos x}{x}$ と条件を満たす。

よって、求める値は $\frac{{\pi }^2+4}{2\pi }$ である。

$x$ を $\frac{x}{2}$ に置き換えると $f(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)\cos \frac{x}{2}+\frac{3}{4}x\sin x$。これを繰り返し用いる。\n\n$x\ne 0$ とし、$u(x)=\frac{xf(x)}{\sin x}$ （$\sin x\ne 0$ となる $x$）を考える代わりに、$f(x)=\frac{\sin x}{x}u(x)$ とおく。このとき $f(2x)=\frac{\sin 2x}{2x}u(2x)=\frac{\sin x\cos x}{x}u(2x)$、右辺は $\frac{\sin x}{x}u(x)\cos x+\frac{3}{2}x\cdot 2\sin x\cos x$。両辺を $\frac{\sin x\cos x}{x}$ で割って\n$$u(2x)=u(x)+3x^2.$$\n\nよって $u(x)=u\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3x^2}{4}$ を繰り返すと\n$$u(x)=u\left(\frac{x}{2^N}\right)+3x^2\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{4^N}\right).$$\n$N\to \infty$ で、$f$ は $x=0$ で連続、$f(0)=1$、$\frac{\sin t}{t}\to 1$ より $u\left(\frac{x}{2^N}\right)\to 1$。無限等比級数の和は $\frac{1/4}{1-1/4}=\frac{1}{3}$ なので $u(x)=1+x^2$、すなわち\n$$f(x)=\frac{\sin x}{x}(1+x^2)(x\ne 0).$$\n\n$x=\frac{\pi }{2}$ は $\sin x\ne 0$, $\cos x=0$ なので、上の式変形（$\cos x$ で割る操作）を $x=\frac{\pi }{2}$ そのものに使ってはいないが、$u$ の関係式は $\cos x\ne 0$ の $x$ で成り立ち、$u(x)=\frac{xf(x)}{\sin x}$ の形は繰り返しで $\frac{x}{2^k}$（$\cos \ne 0$, $\sin \ne 0$）だけを使うので問題ない。\n\n$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2}{\pi }\left(1+\frac{{\pi }^2}{4}\right)=\frac{2}{\pi }+\frac{\pi }{2}.$$\n\n検算: $x=\frac{\pi }{4}$ を与式に代入すると $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{2}\cdot \frac{\pi }{4}$。$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{\pi }\left(1+\frac{{\pi }^2}{16}\right)$ より $f\left(\frac{\pi }{4}\right)\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{\pi }+\frac{\pi }{8}$。加えて $\frac{2}{\pi }+\frac{\pi }{8}+\frac{3\pi }{8}=\frac{2}{\pi }+\frac{\pi }{2}$。一致する。