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数値解析の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル証明問題大学数学数値解析

$a > 0$ とし、 $c = 3 a$ とおく。方程式 $f (x) = x^{3} - a = 0$ にニュートン法を適用し、初期値 $x_{0} > 0$ から
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} = \frac{2 x _{n}^{3} + a}{3 x _{n}^{2}} (n = 0, 1, 2, \dots)$
によって数列 ${x_{n}}$ を定める。このとき、すべての $x_{n}$ は正で数列は定義でき、さらにすべての正の整数 $n$ に対して
$0 \leq x_{n + 1} - c \leq \frac{( x _{n} - c ) ^{2}}{c}$
が成り立つことを証明せよ。

この問題で使うもの

ニュートン法の反復（説明と入口の問題）
ニュートン法の収束の次数（説明と入口の問題）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（説明と入口の問題）
2 次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $x_{n} > 0$ を帰納法で確かめ、次に $x_{n + 1} - c$ を $x_{n}$ の式で表して、その分子を因数分解することを考えましょう。

ヒント 2

$a = c^{3}$ を代入すると、 $x_{n + 1} - c = \frac{2 x _{n}^{3} - 3 c x _{n}^{2} + c ^{3}}{3 x _{n}^{2}}$ です。分子は $x = c$ を重解にもつので $(x_{n} - c)^{2}$ で割り切れます。

ヒント 3

$x_{n + 1} - c = \frac{( x _{n} - c ) ^{2} ( 2 x _{n} + c )}{3 x _{n}^{2}}$ から、どんな $x_{0} > 0$ でも $x_{1}, x_{2}, \dots \geq c$ がわかります。残りは $x_{n} \geq c$ のもとで $\frac{2 x _{n} + c}{3 x _{n}^{2}}$ を $\frac{1}{c}$ と比べることです。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

帰納法により、すべての $x_{n}$ が正で、漸化式の分母が $0$ にならないことを示している（2 点）
$a = c^{3}$ を用いて $x_{n + 1} - c = \frac{( x _{n} - c ) ^{2} ( 2 x _{n} + c )}{3 x _{n}^{2}}$ を正しく導き、因数分解を確かめている（3 点）
この式の各因子の符号から $x_{n + 1} \geq c$ を導き、 $n \geq 1$ で $x_{n} \geq c$ となることを述べている（2 点）
$x_{n} \geq c$ のもとで $\frac{2 x _{n} + c}{3 x _{n}^{2}} \leq \frac{1}{c}$ を $(3 x_{n} + c) (x_{n} - c) \geq 0$ などに帰着して示し、求める不等式を結論している（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

Step 1: すべての $x_{n}$ が正であること. 数学的帰納法で示す。 $x_{0} > 0$ は仮定である。ある $n \geq 0$ で $x_{n} > 0$ が定義されていると仮定すると、 $3 x_{n}^{2} > 0$ なので $x_{n + 1} = \frac{2 x _{n}^{3} + a}{3 x _{n}^{2}}$ は定義でき、分子 $2 x_{n}^{3} + a > 0$ （ $x_{n} > 0$ , $a > 0$ より）であるから $x_{n + 1} > 0$ である。よってすべての $n \geq 0$ で $x_{n}$ は定義でき、 $x_{n} > 0$ である。

Step 2: 誤差の漸化式. $a = c^{3}$ を用いると、 $x = x_{n} > 0$ に対して
$x_{n + 1} - c = \frac{2 x ^{3} + c ^{3} - 3 c x ^{2}}{3 x ^{2}} .$
ここで分子を因数分解する。
$(x - c)^{2} (2 x + c) = (x^{2} - 2 c x + c^{2}) (2 x + c) = 2 x^{3} + c x^{2} - 4 c x^{2} - 2 c^{2} x + 2 c^{2} x + c^{3} = 2 x^{3} - 3 c x^{2} + c^{3}$
であるから
$x_{n + 1} - c = \frac{( x _{n} - c ) ^{2} ( 2 x _{n} + c )}{3 x _{n}^{2}} (n \geq 0) (1)$
が成り立つ。

Step 3: 下からの評価. $(1)$ の右辺で $(x_{n} - c)^{2} \geq 0$ 、 $2 x_{n} + c > 0$ 、 $3 x_{n}^{2} > 0$ （Step 1 と $c > 0$ より）なので、すべての $n \geq 0$ で $x_{n + 1} - c \geq 0$ である。とくに、すべての正の整数 $n$ に対して $x_{n} \geq c$ である（ $x_{n}$ は $n - 1 \geq 0$ に対する $x_{(n - 1) + 1}$ だから）。これで左側の不等式 $0 \leq x_{n + 1} - c$ が示された。

Step 4: 上からの評価. $n$ を正の整数とし、 $x = x_{n}$ とおく。Step 3 より $x \geq c > 0$ である。このとき
$\frac{2 x + c}{3 x ^{2}} \leq \frac{1}{c} (2)$
を示す。両辺に正の数 $3 c x^{2}$ を掛けると、 $(2)$ は $c (2 x + c) \leq 3 x^{2}$ 、すなわち
$3 x^{2} - 2 c x - c^{2} \geq 0 ⟺ (3 x + c) (x - c) \geq 0$
と同値である。 $3 x + c > 0$ 、 $x - c \geq 0$ なのでこれは成り立ち、 $(2)$ が示された。 $(1)$ と $(x_{n} - c)^{2} \geq 0$ および $(2)$ より
$x_{n + 1} - c = (x_{n} - c)^{2} \cdot \frac{2 x _{n} + c}{3 x _{n}^{2}} \leq \frac{( x _{n} - c ) ^{2}}{c} .$

結論. Step 3 と Step 4 より、すべての正の整数 $n$ に対して
$0 \leq x_{n + 1} - c \leq \frac{( x _{n} - c ) ^{2}}{c}$
が成り立つ。（これは $n \geq 1$ で誤差が 2 乗のオーダーで小さくなる、すなわちニュートン法が 2 次収束の評価をもつことを表している。）

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