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数値解析の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数値解析

$a$ を正の実数とし、実数を成分とする連立 1 次方程式 $A x = b$ の係数行列を
$A = a 11 1 a 1 11 a$
とする。 $A$ を対角部分 $D$ 、狭義下三角部分 $L$ 、狭義上三角部分 $U$ に分けて $A = D + L + U$ と書く。ガウス・ザイデル法
$x^{(k + 1)} = - (D + L)^{- 1} U x^{(k)} + (D + L)^{- 1} b (k = 0, 1, 2, \dots)$
とヤコビ法
$x^{(k + 1)} = - D^{- 1} (L + U) x^{(k)} + D^{- 1} b (k = 0, 1, 2, \dots)$
を考える。任意の $b \in R^{3}$ と任意の初期ベクトル $x^{(0)} \in R^{3}$ に対して反復が収束するような $a$ の範囲は、ガウス・ザイデル法では $a > α$ 、ヤコビ法では $a > β$ と表される。組 $(α, β)$ を求めよ。

この問題で使うもの

ヤコビ法・ガウス・ザイデル法の収束（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

反復法が任意の初期値で収束する条件は、反復行列のスペクトル半径が 1 未満であることです。ガウス・ザイデル法とヤコビ法それぞれの反復行列の固有値を調べましょう。

ヒント 2

ガウス・ザイデル法の反復行列 $- (D + L)^{- 1} U$ の固有値は $det (λ (D + L) + U) = 0$ の解です。ヤコビ法では $L + U = J - I$ （ $J$ は全成分 1 の行列）と書けることを使います。

ヒント 3

$det (λ (D + L) + U) = λ {a^{3} λ^{2} - (3 a - 1) λ + 1}$ となり、2 次式の判別式は $- (a - 1)^{2} (4 a - 1)$ です。判別式が負のときは解の絶対値の 2 乗が解の積に等しいことを使い、 $a$ の値で場合分けしましょう。

答えと解説

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(1, 2)

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解説を読む

反復 $x^{(k + 1)} = G x^{(k)} + c$ が任意の初期ベクトル（と任意の $b$ ）に対して収束するための必要十分条件は、反復行列 $G$ のスペクトル半径 $ρ (G)$ が $ρ (G) < 1$ を満たすことである。以下、各方法の反復行列の固有値を求める。

ガウス・ザイデル法. $G_{GS} = - (D + L)^{- 1} U$ である。 $det (D + L) = a^{3} \neq = 0$ なので
$det (λ I - G_{GS}) = det ((D + L)^{- 1}) det (λ (D + L) + U)$
より、固有値は $det (λ (D + L) + U) = 0$ の解である。
$det λa λ λ 1 λa λ 11 λa = λa (λ^{2} a^{2} - λ) - (λ^{2} a - λ) + (λ^{2} - λ^{2} a) = a^{3} λ^{3} + (1 - 3 a) λ^{2} + λ .$
よって固有値は $λ = 0$ と、2 次方程式
$a^{3} λ^{2} - (3 a - 1) λ + 1 = 0 (1)$
の 2 解である。 $(1)$ の判別式は
$(3 a - 1)^{2} - 4 a^{3} = - (4 a^{3} - 9 a^{2} + 6 a - 1) = - (a - 1)^{2} (4 a - 1) .$
- $a > \frac{1}{4}, a \neq = 1$ のとき：判別式は負で、 $(1)$ の解は互いに共役な虚数。絶対値の 2 乗は解の積 $\frac{1}{a ^{3}}$ に等しいので $ρ (G_{GS}) = a^{- 3/2}$ 。これが $1$ 未満となるのは $a > 1$ のとき。
- $a = 1$ のとき：重解 $λ = \frac{3 a - 1}{2 a ^{3}} = 1$ で $ρ = 1$ 。収束しない。
- $0 < a \leq \frac{1}{4}$ のとき：解は実数で、その積は $\frac{1}{a ^{3}} \geq 64$ 。よって少なくとも一方の絶対値は $8$ 以上で、収束しない。

したがってガウス・ザイデル法が収束するのは $a > 1$ のときで、 $α = 1$ 。
（ $A$ の固有値は $a + 2, a - 1, a - 1$ なので、 $a > 1$ は $A$ が正定値対称であることと一致し、正定値対称行列ならガウス・ザイデル法が収束するという定理とも整合する。）

ヤコビ法. すべての成分が $1$ の $3$ 次正方行列を $J$ とすると $D = a I, L + U = J - I$ なので
$G_{J} = - \frac{1}{a} (J - I) .$
$J$ の固有値は $3, 0, 0$ なので $J - I$ の固有値は $2, - 1, - 1$ 、 $G_{J}$ の固有値は $- \frac{2}{a}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a}$ 。よって $ρ (G_{J}) = \frac{2}{a}$ で、これが $1$ 未満となるのは $a > 2$ のとき。したがって $β = 2$ 。

以上より $(α, β) = (1, 2)$ 。

別解

ヤコビ法: 反復行列は $- D^{- 1} (L + U) = - \frac{1}{a} (J - I)$ である。ここで $J$ は全成分が 1 の行列。 $J$ の固有値は $3, 0, 0$ なので、 $J - I$ の固有値は $2, - 1, - 1$ となる。よって反復行列の固有値は $- 2/ a, 1/ a, 1/ a$ で、スペクトル半径は $2/ a$ である。任意の初期値・任意の $b$ で収束する条件は、スペクトル半径が 1 未満であること。したがって $2/ a < 1$ 、すなわち $a > 2$ で、 $β = 2$ 。

ガウス・ザイデル法: $A$ は対称で、 $a > 0$ より対角成分は正である。このとき、ガウス・ザイデル法が収束することと $A$ が正定値であることは同値である（Ostrowski–Reich の定理とその逆）。 $A = (a - 1) I + J$ の固有値は $a + 2, a - 1, a - 1$ である。 $a > 0$ のもとで正定値となる条件は $a > 1$ なので、 $α = 1$ 。

確認: $a = 1$ のとき $A$ は特異で、 $A$ の零空間のベクトル $v$ について $- (D + L)^{- 1} U v = v$ となる。これは反復行列が固有値 1 をもつことを示すので、収束しない。また $a = 2$ のとき、ヤコビ法の反復行列の固有値 $- 1$ は絶対値が 1 なので、収束しない。

以上より $(α, β) = (1, 2)$ 。

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