数値解析の問題

定常反復法 ${\mathbf{x}}^{(k+1)}=M{\mathbf{x}}^{(k)}+\mathbf{c}$ が任意の $\mathbf{b}$, ${\mathbf{x}}^{(0)}$ で収束するための必要十分条件は、反復行列のスペクトル半径について $\rho (M)<1$ が成り立つことである（このとき $A$ は正則でもある）。

$A=D-L-U$（$D$ は対角部分、$-L$, $-U$ は狭義下三角・狭義上三角部分）と分解すると $D=I$ である。

ヤコビ法. 反復行列は $M_J=D^{-1}(L+U)=I-A$ である。$J$ をすべての成分が $1$ の $3$ 次行列とすると $A=(1-a)I+aJ$ なので
$$M_J=-a(J-I).$$
$J$ の固有値は $3,0,0$ だから $J-I$ の固有値は $2,-1,-1$、よって $M_J$ の固有値は $-2a,a,a$。したがって $a>0$ のとき
$$\rho (M_J)=2a.$$
収束条件 $\rho (M_J)<1$ は $0<a<\frac{1}{2}$。よって $\alpha =\frac{1}{2}$。

ガウス・ザイデル法. 反復行列は $M_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ である。$A$ の固有値は $A=(1-a)I+aJ$ より $1+2a,1-a,1-a$ である。$a>0$ のとき $A$ が正定値であるための必要十分条件は $1-a>0$、すなわち $0<a<1$。

$A$ は対角成分が正（すべて $1$）の実対称行列である。このような行列に対しては、オストロフスキー・ライヒの定理（およびその逆）により、ガウス・ザイデル法が収束するための必要十分条件は $A$ が正定値であることである。

• $0<a<1$ のとき $A$ は正定値なのでガウス・ザイデル法は収束する。
• $a=1$ のとき $A$ は特異である（固有値 $0$ をもつ）。このとき $A\mathbf{v}=0$ を満たす $\mathbf{v}\ne 0$ がある（例えば $\mathbf{v}=(1,-1,0{)}^T$）。$A=(D-L)-U$ より $(D-L)\mathbf{v}=U\mathbf{v}$、すなわち $M_{GS}\mathbf{v}=(D-L{)}^{-1}U\mathbf{v}=\mathbf{v}$ となる。よって $M_{GS}$ は固有値 $1$ をもち、$\rho (M_{GS})\ge 1$ なので収束しない。（実際、例えば $\mathbf{b}=0$, ${\mathbf{x}}^{(0)}=\mathbf{v}$ とすると反復列は $\mathbf{v}$ のまま動かないが、$\mathbf{b}$ を $A$ の像に入らないようにとれば解そのものが存在しないので、どのような意味でも「解に収束する」ことはない。）
• $a>1$ のとき $A$ は正定値でない（固有値 $1-a<0$）ので、上の定理の逆より収束しない。

よってガウス・ザイデル法が収束する $a>0$ の全体は $0<a<1$ で、$\beta =1$。

（参考: $\frac{1}{2}\le a<1$ ではヤコビ法は発散するがガウス・ザイデル法は収束する。）

以上より $(\alpha ,\beta )=\left(\frac{1}{2},1\right)$。

【ヤコビ法】$A=D+L+U$（$D=I$）とすると、ヤコビ法の反復行列は $T_J=-D^{-1}(L+U)=-(A-I)=-a(J-I^{\prime })$ の形で、ここで $A-I=a(E-I)$、$E$ は全成分 1 の 3 次行列である。$E$ の固有値は $3,0,0$ なので $E-I$ の固有値は $2,-1,-1$。よって $T_J$ の固有値は $-2a,a,a$、スペクトル半径は $\rho (T_J)=2a$（$a>0$）。反復法が任意の $\mathbf{b}$, ${\mathbf{x}}^{(0)}$ で収束する必要十分条件は $\rho (T_J)<1$ なので $2a<1$、すなわち $0<a<\frac{1}{2}$。よって $\alpha =\frac{1}{2}$。

【ガウス・ザイデル法】$A$ は実対称で対角成分がすべて正（$=1$）。このとき、ガウス・ザイデル法が収束する必要十分条件は $A$ が正定値であること（オストロフスキー・ライヒの定理とその逆）。$A=(1-a)I+aE$ の固有値は $1+2a,1-a,1-a$。$a>0$ なので $1+2a>0$ であり、正定値となる条件は $1-a>0$、すなわち $a<1$。よって $0<a<1$ で収束し、$\beta =1$。

【検算】$a=1/2$ のとき $T_J$ の固有値は $-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ で $\rho =1$（収束しない）。境界として整合する。ガウス・ザイデル法について、$a=0.9$ で $T_{GS}=-(D+L{)}^{-1}U$ を直接計算する。$D+L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 1& 0\\ a& a& 1\end{array}\right)$、$(D+L{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -a& 1& 0\\ a^2-a& -a& 1\end{array}\right)$、$U=\left(\begin{array}{ccc}0& a& a\\ 0& 0& a\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ より $(D+L{)}^{-1}U=\left(\begin{array}{ccc}0& a& a\\ 0& -a^2& a-a^2\\ 0& a^3-a^2& a^2-a+a^3-a^2\cdots \end{array}\right)$。第 1 列が 0 なので固有値の 1 つは 0 で、残りは右下 2×2 ブロックから決まる。ブロックは $-\left(\begin{array}{cc}-a^2& a-a^2\\ a^3-a^2& a^3-a\end{array}\right)$ の形で、$(3,3)$ 成分は $a(a^2-a)+(-a)(a)\cdot (-1)\dots$ の計算を整理すると、固有値の積が $\det (T_{GS})$ 相当で $a$ の高次の項となる。上のオストロフスキー・ライヒの定理による結論（$a<1$ で収束、$a=1$ で $A$ が特異となり任意の $\mathbf{b}$ に対して解に収束できない）を採用する。$a=1$ では $A=E$ が特異で、$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ が $\mathbf{b}\notin \mathrm{Im}E$ のとき解を持たないので条件を満たさず、$\beta =1$ と整合する。

以上より $(\alpha ,\beta )=\left(\frac{1}{2},1\right)$。