非平衡統計力学の問題

3 つの状態 $1,2,3$ をとる系が、連続時間のマスター方程式
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\sum _{j\ne i}[w(j\to i)p_j-w(i\to j)p_i](i=1,2,3)$$
にしたがって変化する。遷移率は $k>0$ を定数として
$$w(1\to 2)=2k,w(2\to 1)=k,w(2\to 3)=2k,w(3\to 2)=k$$
で、それ以外の遷移（$1\leftrightarrow 3$）は起こらない。この系の緩和時間 $\tau$（遷移行列の 0 でない固有値のうち、絶対値が最小のものの絶対値の逆数）を $k$ を用いて表せ。

質量 $m$、電荷 $-e$ ($e>0$) の電子が数密度 $n$ で一様に分布し、温度 $T$ の非縮退（マクスウェル–ボルツマン分布に従う）理想気体とみなせるとする。電子のエネルギーは $\epsilon =\frac{1}{2}m{v}^2$（等方的な放物型分散）であり、平衡分布は
$$f_0(\mathbf{v})=n{\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{e}^{-\epsilon /k_{B}T}$$
である。この系に一様で時間変化しない弱い電場 $\mathbf{E}$ をかける（磁場はなく、温度は一様とする）。散乱は緩和時間近似
$${\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\text{coll}}=-\frac{f-f_0}{\tau (\epsilon )},\tau (\epsilon )={\tau }_0{\left(\frac{\epsilon }{k_{B}T}\right)}^{-1/2}$$
で表されるとする（${\tau }_0$ は正の定数）。定常状態のボルツマン方程式を電場について 1 次まで解き、電流密度 $\mathbf{j}=\sigma \mathbf{E}$ で定義される電気伝導度 $\sigma$ を $n,e,m,{\tau }_0$ を用いて表せ。

2 種類の不可逆過程が結合した系を考える。流れ $J_1,J_2$ と、それに共役な熱力学的力 $X_1,X_2$ は、単位時間・単位体積あたりのエントロピー生成率が
$$\sigma =J_1{X}_1+J_2{X}_2$$
となるように選ばれているとする。線形応答の範囲で
$$J_i=\sum _{j=1}^2{L}_{ij}{X}_j(i=1,2)$$
が成り立つ。$L_{ij}$ は定数である。$X_1,X_2$ はともに時間反転に対して偶な状態変数から作られており、磁場や回転はない。

次の 2 つの測定を行った。

• 測定 (i)：$X_2=0$ に保つと、$J_1=a{X}_1$、$J_2=b{X}_1$ であった。
• 測定 (ii)：$X_1=0$ に保つと、$J_2=c{X}_2$ であった。

ここで $a,b,c$ は実定数で、$a>0$、$c>0$、$ac>b^2$ を満たす。

次に、$X_2$ を一定に保ったまま、$X_1$ が自由に調整されて $J_1=0$ となる定常状態に系が達したとする。この定常状態でのエントロピー生成率 $\sigma$ を、$a,b,c,X_2$ を用いて表せ。

2 次元平面上の粒子（座標 $(x,y)$）が、次の過減衰ランジュバン方程式に従って運動する。
$$\eta \frac{dx}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial x}+{\xi }_x(t),\eta \frac{dy}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial y}+{\xi }_y(t)$$
ここで $\eta >0$ は摩擦係数（$x,y$ 方向で共通）であり、${\xi }_i(t)$ は平均 $0$ のガウス白色雑音で
$$⟨{\xi }_i(t){\xi }_j(t^{\prime })⟩=2\eta k_{B}T{\delta }_{ij}\delta (t-t^{\prime })$$
を満たす（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。ポテンシャルは
$$U(x,y)=\frac{U_0}{b^4}{\left(x^2-b^2\right)}^2+\frac{\kappa }{2}{\left(y-sx\right)}^2$$
で与えられる。ただし $U_0>0$, $b>0$, $\kappa >0$ は定数、$s$ は無次元の実数の定数である。このポテンシャルは $(x,y)=(\pm b,\pm sb)$（複号同順）に 2 つの極小をもち、原点が両者を結ぶ鞍点である。

$x<0$ 側の極小のまわりで熱平衡に達した粒子が、鞍点を越えて $x>0$ 側の極小へ移る遷移率（単位時間あたりの片道の遷移確率）$k$ を考える。障壁が十分高い極限 $k_{B}T\ll U_0$（あわせて $k_{B}T$ は極小・鞍点まわりのポテンシャルの 2 次近似が十分よい程度に小さい）で、$k$ の主要項を $U_0,b,\kappa ,s,\eta ,k_B,T$ を用いて求めよ。

数密度 $n$ の非縮退な電子気体（質量 $m$、電荷 $-e$、温度 $T$）を考える。外場がないときの分布関数はマクスウェル・ボルツマン分布 $f_0(\mathbf{v})\propto e^{-\epsilon /k_{B}T}$（$\epsilon =\frac{1}{2}m{v}^2$）である。一様で一定の弱い電場 $\mathbf{E}$ のもとで、定常状態のボルツマン方程式を緩和時間近似
$$-\frac{e\mathbf{E}}{m}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}=-\frac{f-f_0}{\tau (\epsilon )}$$
で扱い、電場の 1 次まで解く。緩和時間がエネルギーに依存して
$$\tau (\epsilon )={\tau }_0{\left(\frac{\epsilon }{k_{B}T}\right)}^{-1/2}$$
（${\tau }_0$ は正の定数）であるとき、電気伝導度 $\sigma$ を $\sigma =C\frac{n{e}^2{\tau }_0}{m}$ と書いたときの無次元の係数 $C$ を求めよ。ガンマ関数の値 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ と $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$ を用いてよい。