非平衡統計力学の問題

3 つの状態 $A,B,C$ をとる系を考える。各状態のエネルギーは $E_A=0,E_B=\Delta ,E_C=0$（$\Delta >0$）である。系は逆温度 $\beta =1/(k_{B}T)$ の熱浴に接している。遷移は $A\leftrightarrow B$ と $B\leftrightarrow C$ の間でだけ起こり、$A\leftrightarrow C$ の直接の遷移は起こらない。状態 $i$ から状態 $j$ への単位時間あたりの遷移率は、メトロポリス型の
$$w(i\to j)=\nu \min \left(1,e^{-\beta (E_j-E_i)}\right)$$
で与えられる（$\nu >0$ は定数）。各状態の占有確率 $p_A(t),p_B(t),p_C(t)$ はマスター方程式
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\sum _{j\ne i}\left[w(j\to i)p_j-w(i\to j)p_i\right]$$
に従う。

このマスター方程式の遷移行列の固有値のうち、$0$ でないものはすべて負の実数である。それらの絶対値の最小値の逆数を、この系の最長緩和時間 $\tau$ と定義する。$\tau$ を $\beta ,\Delta ,\nu$ を用いて表せ。

温度 $T$ の熱浴中で、ばね定数 $k$ の調和ポテンシャル $U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$ に捕らえられた粒子の 1 次元の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-kx+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する（$\gamma >0$ は抵抗係数、$k_B$ はボルツマン定数）。時刻 $t=0$ で粒子は確実に $x=0$ にあったとする。時刻 $t>0$ での位置の分散 $⟨x(t{)}^2⟩-⟨x(t){⟩}^2$ を、$k_B$, $T$, $k$, $\gamma$, $t$ を用いて表せ。

容器の底 $x=0$ の上（$x\ge 0$、$x$ は鉛直上向きの高さ）で沈降するコロイド粒子の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),U(x)=Fx(F>0),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する。ここで $F$ は浮力を差し引いた有効重力の大きさ、$\gamma >0$ は抵抗係数、$T$ は温度、$k_B$ はボルツマン定数である。粒子の位置の確率密度 $p(x,t)$ はフォッカー・プランク方程式
$$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{U^{\prime }(x)}{\gamma }p+D\frac{\partial p}{\partial x}\right],D=\frac{k_{B}T}{\gamma }$$
にしたがい、底 $x=0$ は反射壁（確率流が $0$）である。定常状態での粒子の高さの平均 $⟨x⟩$ を、$k_B$, $T$, $F$ を用いて表せ。

1 次元のポテンシャル
$$U(x)=\frac{a}{2}{x}^2-\frac{b}{3}{x}^3(a>0,b>0\text{は定数})$$
の中で、温度 $T$ の熱浴に接した粒子が過減衰ランジュバン方程式
$$\gamma \dot{x}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
に従って運動している（$\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数）。粒子ははじめ極小点 $x=0$ の近くの井戸の中にある。

障壁の高さ $\Delta U$ が $k_{B}T$ に比べて十分大きい（$\Delta U\gg k_{B}T$）として、粒子が極大点を越えて井戸から脱出する率（単位時間あたりの脱出確率）$k$ を、過減衰のクラマースの公式
$$k=\frac{\sqrt{U^{\prime \prime }(x_a)|U^{\prime \prime }(x_b)|}}{2\pi \gamma }{e}^{-\Delta U/k_{B}T}$$
（$x_a$ は極小点、$x_b$ は障壁の頂上、$\Delta U=U(x_b)-U(x_a)$）を用いて、$a$, $b$, $\gamma$, $k_B$, $T$ で表せ。

2 種類の流れ $J_1$, $J_2$ と、それに共役な熱力学的な力 $X_1$, $X_2$ をもつ系を考える。エントロピー生成率は $\sigma =J_1{X}_1+J_2{X}_2$ で、流れと力は線形関係
$$J_1=L_{11}{X}_1+L_{12}{X}_2,J_2=L_{21}{X}_1+L_{22}{X}_2$$
にしたがう。ここで輸送係数はオンサーガーの相反関係 $L_{12}=L_{21}$ を満たし、$L_{11}>0$, $L_{22}>0$, $L_{11}{L}_{22}-L_{12}^2>0$ である。

力 $X_1$ を一定に保ち、流れ $J_2$ が $0$ になる定常状態に達したとする。このときのエントロピー生成率 $\sigma$ を $L_{11}$, $L_{12}$, $L_{22}$, $X_1$ を用いて表せ。