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非平衡統計力学の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理非平衡統計力学

2 種類の流れ $J_{1}$ , $J_{2}$ と、それに共役な熱力学的な力 $X_{1}$ , $X_{2}$ をもつ系を考える。エントロピー生成率は $σ = J_{1} X_{1} + J_{2} X_{2}$ で、流れと力は線形関係
$J_{1} = L_{11} X_{1} + L_{12} X_{2}, J_{2} = L_{21} X_{1} + L_{22} X_{2}$
にしたがう。ここで輸送係数はオンサーガーの相反関係 $L_{12} = L_{21}$ を満たし、 $L_{11} > 0$ , $L_{22} > 0$ , $L_{11} L_{22} - L_{12}^{2} > 0$ である。

力 $X_{1}$ を一定に保ち、流れ $J_{2}$ が $0$ になる定常状態に達したとする。このときのエントロピー生成率 $σ$ を $L_{11}$ , $L_{12}$ , $L_{22}$ , $X_{1}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

オンサーガーの相反関係と線形不可逆過程（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（121 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「オンサーガーの相反関係と線形不可逆過程」を使います。 $J_{2} = 0$ の条件から、定常状態での $X_{2}$ を $X_{1}$ で表します。

ヒント 2

相反関係 $L_{21} = L_{12}$ を使うと $X_{2} = - \frac{L _{12}}{L _{22}} X_{1}$ です。

ヒント 3

$J_{2} = 0$ なので $σ = J_{1} X_{1}$ です。 $J_{1} = L_{11} X_{1} + L_{12} X_{2}$ に $X_{2}$ を代入します。

答えと解説

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\frac{L _{11} L _{22} - L _{12}^{2}}{L _{22}} X_{1}^{2}

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解説を読む

1. $J_{2} = 0$ の条件から $X_{2}$ を決める　オンサーガーの相反関係 $L_{21} = L_{12}$ を使うと
$J_{2} = L_{12} X_{1} + L_{22} X_{2} = 0 ⟹ X_{2} = - \frac{L _{12}}{L _{22}} X_{1} .$

2. 残りの流れ $J_{1}$ 　
$J_{1} = L_{11} X_{1} + L_{12} X_{2} = L_{11} X_{1} - \frac{L _{12}^{2}}{L _{22}} X_{1} = \frac{L _{11} L _{22} - L _{12}^{2}}{L _{22}} X_{1} .$

3. エントロピー生成率　 $J_{2} = 0$ なので $σ = J_{1} X_{1} + J_{2} X_{2} = J_{1} X_{1}$ で
$σ = \frac{L _{11} L _{22} - L _{12}^{2}}{L _{22}} X_{1}^{2} .$
$L_{11} L_{22} - L_{12}^{2} > 0$ , $L_{22} > 0$ なので $σ > 0$ であり、第二法則と矛盾しない。また、 $X_{2}$ も自由に動かせるとき $σ$ を $X_{2}$ の 2 次関数とみて最小にする条件 $\partial σ / \partial X_{2} = 2 (L_{12} X_{1} + L_{22} X_{2}) = 2 J_{2} = 0$ と一致する（最小エントロピー生成の原理）。

別解

$J_{2} = L_{21} X_{1} + L_{22} X_{2} = 0$ と $L_{21} = L_{12}$ より $X_{2} = - \frac{L _{12}}{L _{22}} X_{1}$ 。
$J_{1} = L_{11} X_{1} + L_{12} X_{2} = (L_{11} - \frac{L _{12}^{2}}{L _{22}}) X_{1}$ 。
$σ = J_{1} X_{1} + J_{2} X_{2} = J_{1} X_{1} = (L_{11} - \frac{L _{12}^{2}}{L _{22}}) X_{1}^{2} = \frac{L _{11} L _{22} - L _{12}^{2}}{L _{22}} X_{1}^{2}$ 。
検算: $L_{11} L_{22} - L_{12}^{2} > 0$ 、 $L_{22} > 0$ より $σ > 0$ でエントロピー生成は非負。 $L_{12} = 0$ のとき $σ = L_{11} X_{1}^{2}$ で独立な流れの場合に一致。同じ $X_{1}$ で $X_{2} = 0$ のときの $σ = L_{11} X_{1}^{2}$ より小さく、これは最小エントロピー生成の原理（プリゴジンの定理）と整合。

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