非平衡統計力学の問題

区間 $0\le x\le L$（$L>0$）の上を、外力を受けずに（ポテンシャル $U(x)=0$）拡散係数 $D>0$ で 1 次元の過減衰ブラウン運動をする粒子がある。$x=0$ は反射壁、$x=L$ は吸収壁であり、粒子は $x=L$ に初めて到達した時点で区間から出るものとする。

時刻 $0$ に粒子が位置 $x=x_0$（$0\le x_0\le L$）にあったとき、粒子が $x=L$ に初めて到達するまでの平均時間 $T(x_0)$ を、$x_0$, $L$, $D$ を用いて表せ。

ただし、平均初到達時間 $T(x)$ は後ろ向き方程式
$$D{T}^{\prime \prime }(x)-\frac{U^{\prime }(x)}{\gamma }{T}^{\prime }(x)=-1$$
に従う（$\gamma$ は摩擦係数）。

数密度 $n$ の非縮退な電子気体（質量 $m$、電荷 $-e$、温度 $T$）を考える。外場がないときの分布関数はマクスウェル・ボルツマン分布 $f_0(\mathbf{v})\propto e^{-\epsilon /k_{B}T}$（$\epsilon =\frac{1}{2}m{v}^2$）である。一様で一定の弱い電場 $\mathbf{E}$ のもとで、定常状態のボルツマン方程式を緩和時間近似
$$-\frac{e\mathbf{E}}{m}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}=-\frac{f-f_0}{\tau (\epsilon )}$$
で扱い、電場の 1 次まで解く。緩和時間がエネルギーに依存して
$$\tau (\epsilon )={\tau }_0{\left(\frac{\epsilon }{k_{B}T}\right)}^{-1/2}$$
（${\tau }_0$ は正の定数）であるとき、電気伝導度 $\sigma$ を $\sigma =C\frac{n{e}^2{\tau }_0}{m}$ と書いたときの無次元の係数 $C$ を求めよ。ガンマ関数の値 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ と $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$ を用いてよい。

2 種類の流れ $J_1$, $J_2$ と、それに共役な熱力学的な力 $X_1$, $X_2$ をもつ系を考える。エントロピー生成率は $\sigma =J_1{X}_1+J_2{X}_2$ で、流れと力は線形関係
$$J_1=L_{11}{X}_1+L_{12}{X}_2,J_2=L_{21}{X}_1+L_{22}{X}_2$$
にしたがう。ここで輸送係数はオンサーガーの相反関係 $L_{12}=L_{21}$ を満たし、$L_{11}>0$, $L_{22}>0$, $L_{11}{L}_{22}-L_{12}^2>0$ である。

力 $X_1$ を一定に保ち、流れ $J_2$ が $0$ になる定常状態に達したとする。このときのエントロピー生成率 $\sigma$ を $L_{11}$, $L_{12}$, $L_{22}$, $X_1$ を用いて表せ。

3 つの状態 $1,2,3$ をとる系が、連続時間のマスター方程式
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\sum _{j\ne i}[w(j\to i)p_j-w(i\to j)p_i](i=1,2,3)$$
にしたがって変化する。遷移率は $k>0$ を定数として
$$w(1\to 2)=2k,w(2\to 1)=k,w(2\to 3)=2k,w(3\to 2)=k$$
で、それ以外の遷移（$1\leftrightarrow 3$）は起こらない。この系の緩和時間 $\tau$（遷移行列の 0 でない固有値のうち、絶対値が最小のものの絶対値の逆数）を $k$ を用いて表せ。

温度 $T=300\mathrm{K}$ の水中にある質量 $m=4.0\times 10^{-15}\mathrm{kg}$ のコロイド粒子の、$x$ 方向の 1 次元の運動を、ランジュバン方程式
$$m\frac{dv}{dt}=-\gamma v+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (t^{\prime })⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-t^{\prime })$$
でモデル化する（$v=dx/dt$）。抵抗係数は $\gamma =2.07\times 10^{-8}kg/s$、ボルツマン定数は $k_B=1.38\times 10^{-23}J/K$ とする。粒子ははじめから熱平衡の速度分布にあるとする。

時刻 $0$ から $t=10\mathrm{s}$ の間の変位 $\Delta x=x(t)-x(0)$ の平均二乗変位 $⟨(\Delta x{)}^2⟩$ は何 $\mu {\mathrm{m}}^2$ か。有効数字 2 桁で求めよ。