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非平衡統計力学の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理非平衡統計力学

数密度 $n$ の非縮退な電子気体（質量 $m$ 、電荷 $- e$ 、温度 $T$ ）を考える。外場がないときの分布関数はマクスウェル・ボルツマン分布 $f_{0} (v) \propto e^{- ε / k_{B} T}$ （ $ε = \frac{1}{2} m v^{2}$ ）である。一様で一定の弱い電場 $E$ のもとで、定常状態のボルツマン方程式を緩和時間近似
$- \frac{e E}{m} \cdot \frac{\partial f}{\partial v} = - \frac{f - f _{0}}{τ ( ε )}$
で扱い、電場の 1 次まで解く。緩和時間がエネルギーに依存して
$τ (ε) = τ_{0} (\frac{ε}{k _{B} T})^{- 1/2}$
（ $τ_{0}$ は正の定数）であるとき、電気伝導度 $σ$ を $σ = C \frac{n e ^{2} τ _{0}}{m}$ と書いたときの無次元の係数 $C$ を求めよ。ガンマ関数の値 $Γ (\frac{1}{2}) = π$ と $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ を用いてよい。

この問題で使うもの

緩和時間近似のボルツマン方程式と輸送係数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（142 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「緩和時間近似のボルツマン方程式と輸送係数」を使います。 $f = f_{0} + τ \frac{\partial f _{0}}{\partial ε} e E \cdot v$ から電流を計算します。

ヒント 2

$σ = \frac{n e ^{2}}{m} \cdot \frac{2 ⟨ τ ε ⟩ _{0}}{3 k _{B} T}$ となります。平均はエネルギー分布 $ε^{1/2} e^{- ε / k_{B} T}$ でとります。

ヒント 3

$x = ε / k_{B} T$ とおくと、平均は $\frac{2 τ _{0}}{3} \cdot \frac{Γ ( 2 )}{Γ ( 3/2 )}$ になります。 $Γ (3/2) = \frac{π}{2}$ です。

答えと解説

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\frac{4}{3 π}

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解説を読む

1. 電場の 1 次で解く　 $f = f_{0} + f_{1}$ とおき、左辺の $f$ を $f_{0}$ で置き換える（電場の 1 次）。 $\frac{\partial f _{0}}{\partial v} = m v \frac{\partial f _{0}}{\partial ε}$ なので
$f_{1} = τ (ε) \frac{\partial f _{0}}{\partial ε} e E \cdot v .$
マクスウェル・ボルツマン分布では $\frac{\partial f _{0}}{\partial ε} = - \frac{f _{0}}{k _{B} T}$ である。

2. 電流密度　 $E = E x^$ とすると、 $f_{0}$ は電流を運ばないので
$j_{x} = - e \int v_{x} f_{1} d^{3} v = \frac{e ^{2} E}{k _{B} T} \int τ v_{x}^{2} f_{0} d^{3} v = \frac{n e ^{2} E}{k _{B} T} ⟨ τ v_{x}^{2} ⟩_{0} .$
ここで $⟨ \dots ⟩_{0}$ は $f_{0}$ での平均。等方性より $⟨ τ v_{x}^{2} ⟩_{0} = \frac{1}{3} ⟨ τ v^{2} ⟩_{0} = \frac{2}{3 m} ⟨ τ ε ⟩_{0}$ なので
$σ = \frac{n e ^{2}}{m} \cdot \frac{2 ⟨ τ ε ⟩ _{0}}{3 k _{B} T} .$
（ $τ$ が定数なら $⟨ ε ⟩_{0} = \frac{3}{2} k_{B} T$ でドルーデの式 $σ = n e^{2} τ / m$ に戻る。）

3. ガンマ関数を使った平均　3 次元のマクスウェル・ボルツマン分布のエネルギー分布は $ε^{1/2} e^{- ε / k_{B} T}$ に比例する。 $x = ε / k_{B} T$ とおくと
$⟨ x^{a} ⟩_{0} = \frac{\int _{0}^{\infty} x ^{a + 1/2} e ^{- x} d x}{\int _{0}^{\infty} x ^{1/2} e ^{- x} d x} = \frac{Γ ( a + \frac{3}{2} )}{Γ ( \frac{3}{2} )} .$
$τ ε = τ_{0} k_{B} T x^{1/2}$ なので
$\frac{2 ⟨ τ ε ⟩ _{0}}{3 k _{B} T} = \frac{2 τ _{0}}{3} \cdot \frac{Γ ( 2 )}{Γ ( \frac{3}{2} )} = τ_{0} \frac{Γ ( 2 )}{Γ ( \frac{5}{2} )} .$
（ $Γ (\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} Γ (\frac{3}{2})$ を使った。）

4. 値を計算する　 $Γ (2) = 1$ 、 $Γ (\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \frac{3 π}{4}$ より
$σ = \frac{4}{3 π} \frac{n e ^{2} τ _{0}}{m}, C = \frac{4}{3 π} \approx 0.752.$

別解

電場の 1 次では $f = f_{0} + f_{1}$ 、 $f_{1} = \frac{e τ ( ε )}{m} E \cdot \frac{\partial f _{0}}{\partial v} = - e τ E \cdot v \frac{\partial f _{0}}{\partial ε} \cdot (- 1)$ の符号を整理すると、電流密度 $j = - e n ⟨ v ⟩$ から $σ = \frac{n e ^{2}}{k _{B} T} ⟨ τ v_{x}^{2} ⟩_{0}$ （ $⟨ \cdot ⟩_{0}$ は $f_{0}$ についての平均、 $- \partial f_{0} / \partial ε = f_{0} / k_{B} T$ を使用）。 $v_{x}^{2} \to \frac{2 ε}{3 m}$ と等方平均して $σ = \frac{n e ^{2}}{m} \cdot \frac{2}{3} \frac{⟨ ε τ ⟩ _{0}}{k _{B} T}$ 。
（検算: $τ$ が定数のとき $⟨ ε ⟩_{0} = \frac{3}{2} k_{B} T$ で $σ = \frac{n e ^{2} τ}{m}$ 、ドルーデの式に一致。）
$x = ε / k_{B} T$ とおくとマクスウェル分布のエネルギー分布は $\propto x^{1/2} e^{- x}$ 、規格化因子 $Γ (\frac{3}{2}) = \frac{π}{2}$ 。 $τ = τ_{0} x^{- 1/2}$ より $\frac{⟨ ε τ ⟩ _{0}}{k _{B} T} = τ_{0} ⟨ x^{1/2} ⟩_{0} = τ_{0} \frac{\int _{0}^{\infty} x e ^{- x} d x}{Γ ( 3/2 )} = τ_{0} \frac{Γ ( 2 )}{Γ ( 3/2 )} = \frac{2 τ _{0}}{π}$ 。
$σ = \frac{n e ^{2}}{m} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2 τ _{0}}{π} = \frac{4}{3 π} \frac{n e ^{2} τ _{0}}{m}$ 、 $C = \frac{4}{3 π} \approx 0.752$ 。

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