非平衡統計力学の問題

1 次元のポテンシャル
$$U(x)=\frac{a}{2}{x}^2-\frac{b}{3}{x}^3(a>0,b>0\text{は定数})$$
の中で、温度 $T$ の熱浴に接した粒子が過減衰ランジュバン方程式
$$\gamma \dot{x}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
に従って運動している（$\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数）。粒子ははじめ極小点 $x=0$ の近くの井戸の中にある。

障壁の高さ $\Delta U$ が $k_{B}T$ に比べて十分大きい（$\Delta U\gg k_{B}T$）として、粒子が極大点を越えて井戸から脱出する率（単位時間あたりの脱出確率）$k$ を、過減衰のクラマースの公式
$$k=\frac{\sqrt{U^{\prime \prime }(x_a)|U^{\prime \prime }(x_b)|}}{2\pi \gamma }{e}^{-\Delta U/k_{B}T}$$
（$x_a$ は極小点、$x_b$ は障壁の頂上、$\Delta U=U(x_b)-U(x_a)$）を用いて、$a$, $b$, $\gamma$, $k_B$, $T$ で表せ。

数密度 $n$ の非縮退な電子気体（質量 $m$、電荷 $-e$、温度 $T$）を考える。外場がないときの分布関数はマクスウェル・ボルツマン分布 $f_0(\mathbf{v})\propto e^{-\epsilon /k_{B}T}$（$\epsilon =\frac{1}{2}m{v}^2$）である。一様で一定の弱い電場 $\mathbf{E}$ のもとで、定常状態のボルツマン方程式を緩和時間近似
$$-\frac{e\mathbf{E}}{m}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}=-\frac{f-f_0}{\tau (\epsilon )}$$
で扱い、電場の 1 次まで解く。緩和時間がエネルギーに依存して
$$\tau (\epsilon )={\tau }_0{\left(\frac{\epsilon }{k_{B}T}\right)}^{-1/2}$$
（${\tau }_0$ は正の定数）であるとき、電気伝導度 $\sigma$ を $\sigma =C\frac{n{e}^2{\tau }_0}{m}$ と書いたときの無次元の係数 $C$ を求めよ。ガンマ関数の値 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ と $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$ を用いてよい。

容器の底 $x=0$ の上（$x\ge 0$、$x$ は鉛直上向きの高さ）で沈降するコロイド粒子の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),U(x)=Fx(F>0),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する。ここで $F$ は浮力を差し引いた有効重力の大きさ、$\gamma >0$ は抵抗係数、$T$ は温度、$k_B$ はボルツマン定数である。粒子の位置の確率密度 $p(x,t)$ はフォッカー・プランク方程式
$$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{U^{\prime }(x)}{\gamma }p+D\frac{\partial p}{\partial x}\right],D=\frac{k_{B}T}{\gamma }$$
にしたがい、底 $x=0$ は反射壁（確率流が $0$）である。定常状態での粒子の高さの平均 $⟨x⟩$ を、$k_B$, $T$, $F$ を用いて表せ。

温度 $T=300\mathrm{K}$ の水中にある質量 $m=4.0\times 10^{-15}\mathrm{kg}$ のコロイド粒子の、$x$ 方向の 1 次元の運動を、ランジュバン方程式
$$m\frac{dv}{dt}=-\gamma v+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (t^{\prime })⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-t^{\prime })$$
でモデル化する（$v=dx/dt$）。抵抗係数は $\gamma =2.07\times 10^{-8}kg/s$、ボルツマン定数は $k_B=1.38\times 10^{-23}J/K$ とする。粒子ははじめから熱平衡の速度分布にあるとする。

時刻 $0$ から $t=10\mathrm{s}$ の間の変位 $\Delta x=x(t)-x(0)$ の平均二乗変位 $⟨(\Delta x{)}^2⟩$ は何 $\mu {\mathrm{m}}^2$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

温度 $T$ の熱浴中で、ばね定数 $k$ の調和ポテンシャル $U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$ に捕らえられた粒子の 1 次元の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-kx+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する（$\gamma >0$ は抵抗係数、$k_B$ はボルツマン定数）。時刻 $t=0$ で粒子は確実に $x=0$ にあったとする。時刻 $t>0$ での位置の分散 $⟨x(t{)}^2⟩-⟨x(t){⟩}^2$ を、$k_B$, $T$, $k$, $\gamma$, $t$ を用いて表せ。