非平衡統計力学の問題

数密度 $n$ の非縮退な電子気体（質量 $m$、電荷 $-e$、温度 $T$）を考える。外場がないときの分布関数はマクスウェル・ボルツマン分布 $f_0(\mathbf{v})\propto e^{-\epsilon /k_{B}T}$（$\epsilon =\frac{1}{2}m{v}^2$）である。一様で一定の弱い電場 $\mathbf{E}$ のもとで、定常状態のボルツマン方程式を緩和時間近似
$$-\frac{e\mathbf{E}}{m}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}=-\frac{f-f_0}{\tau (\epsilon )}$$
で扱い、電場の 1 次まで解く。緩和時間がエネルギーに依存して
$$\tau (\epsilon )={\tau }_0{\left(\frac{\epsilon }{k_{B}T}\right)}^{-1/2}$$
（${\tau }_0$ は正の定数）であるとき、電気伝導度 $\sigma$ を $\sigma =C\frac{n{e}^2{\tau }_0}{m}$ と書いたときの無次元の係数 $C$ を求めよ。ガンマ関数の値 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ と $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$ を用いてよい。

3 つの状態 $A,B,C$ をとる系を考える。各状態のエネルギーは $E_A=0,E_B=\Delta ,E_C=0$（$\Delta >0$）である。系は逆温度 $\beta =1/(k_{B}T)$ の熱浴に接している。遷移は $A\leftrightarrow B$ と $B\leftrightarrow C$ の間でだけ起こり、$A\leftrightarrow C$ の直接の遷移は起こらない。状態 $i$ から状態 $j$ への単位時間あたりの遷移率は、メトロポリス型の
$$w(i\to j)=\nu \min \left(1,e^{-\beta (E_j-E_i)}\right)$$
で与えられる（$\nu >0$ は定数）。各状態の占有確率 $p_A(t),p_B(t),p_C(t)$ はマスター方程式
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\sum _{j\ne i}\left[w(j\to i)p_j-w(i\to j)p_i\right]$$
に従う。

このマスター方程式の遷移行列の固有値のうち、$0$ でないものはすべて負の実数である。それらの絶対値の最小値の逆数を、この系の最長緩和時間 $\tau$ と定義する。$\tau$ を $\beta ,\Delta ,\nu$ を用いて表せ。

容器の底 $x=0$ の上（$x\ge 0$、$x$ は鉛直上向きの高さ）で沈降するコロイド粒子の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),U(x)=Fx(F>0),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する。ここで $F$ は浮力を差し引いた有効重力の大きさ、$\gamma >0$ は抵抗係数、$T$ は温度、$k_B$ はボルツマン定数である。粒子の位置の確率密度 $p(x,t)$ はフォッカー・プランク方程式
$$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{U^{\prime }(x)}{\gamma }p+D\frac{\partial p}{\partial x}\right],D=\frac{k_{B}T}{\gamma }$$
にしたがい、底 $x=0$ は反射壁（確率流が $0$）である。定常状態での粒子の高さの平均 $⟨x⟩$ を、$k_B$, $T$, $F$ を用いて表せ。

温度 $T$ の熱浴中で1次元を運動する過減衰ブラウン粒子を考える。粒子の位置 $x(t)$ は次のランジュバン方程式に従う。
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial x}(x,\lambda (t))+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
ここで $\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数、$\xi (t)$ はガウス白色雑音であり、ポテンシャルは調和型
$$U(x,\lambda )=\frac{k}{2}(x-\lambda {)}^2(k>0)$$
である。$t<0$ では $\lambda =0$ に保たれ、粒子は時刻 $t=0$ でこのポテンシャル中の熱平衡状態（カノニカル分布）にあるとする。$0\le t\le \tau$ $(\tau >0)$ の間、ポテンシャルの中心を一定の速さ $v$ で動かし $\lambda (t)=vt$ とする。この操作で外部が粒子にする仕事を
$$W={\int }_0^{\tau }\frac{\partial U}{\partial \lambda }(x(t),\lambda (t))\dot{\lambda }(t)dt$$
と定義する。多数回の試行にわたる $W$ の分布の分散 $⟨W^2⟩-⟨W{⟩}^2$ を、$k_B,T,\gamma ,k,v,\tau$ を用いて求めよ。

1 次元のポテンシャル
$$U(x)=\frac{a}{2}{x}^2-\frac{b}{3}{x}^3(a>0,b>0\text{は定数})$$
の中で、温度 $T$ の熱浴に接した粒子が過減衰ランジュバン方程式
$$\gamma \dot{x}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
に従って運動している（$\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数）。粒子ははじめ極小点 $x=0$ の近くの井戸の中にある。

障壁の高さ $\Delta U$ が $k_{B}T$ に比べて十分大きい（$\Delta U\gg k_{B}T$）として、粒子が極大点を越えて井戸から脱出する率（単位時間あたりの脱出確率）$k$ を、過減衰のクラマースの公式
$$k=\frac{\sqrt{U^{\prime \prime }(x_a)|U^{\prime \prime }(x_b)|}}{2\pi \gamma }{e}^{-\Delta U/k_{B}T}$$
（$x_a$ は極小点、$x_b$ は障壁の頂上、$\Delta U=U(x_b)-U(x_a)$）を用いて、$a$, $b$, $\gamma$, $k_B$, $T$ で表せ。