非平衡統計力学の問題

2 種類の流れ $J_1$, $J_2$ と、それに共役な熱力学的な力 $X_1$, $X_2$ をもつ系を考える。エントロピー生成率は $\sigma =J_1{X}_1+J_2{X}_2$ で、流れと力は線形関係
$$J_1=L_{11}{X}_1+L_{12}{X}_2,J_2=L_{21}{X}_1+L_{22}{X}_2$$
にしたがう。ここで輸送係数はオンサーガーの相反関係 $L_{12}=L_{21}$ を満たし、$L_{11}>0$, $L_{22}>0$, $L_{11}{L}_{22}-L_{12}^2>0$ である。

力 $X_1$ を一定に保ち、流れ $J_2$ が $0$ になる定常状態に達したとする。このときのエントロピー生成率 $\sigma$ を $L_{11}$, $L_{12}$, $L_{22}$, $X_1$ を用いて表せ。

3 つの状態 $A,B,C$ をとる系を考える。各状態のエネルギーは $E_A=0,E_B=\Delta ,E_C=0$（$\Delta >0$）である。系は逆温度 $\beta =1/(k_{B}T)$ の熱浴に接している。遷移は $A\leftrightarrow B$ と $B\leftrightarrow C$ の間でだけ起こり、$A\leftrightarrow C$ の直接の遷移は起こらない。状態 $i$ から状態 $j$ への単位時間あたりの遷移率は、メトロポリス型の
$$w(i\to j)=\nu \min \left(1,e^{-\beta (E_j-E_i)}\right)$$
で与えられる（$\nu >0$ は定数）。各状態の占有確率 $p_A(t),p_B(t),p_C(t)$ はマスター方程式
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\sum _{j\ne i}\left[w(j\to i)p_j-w(i\to j)p_i\right]$$
に従う。

このマスター方程式の遷移行列の固有値のうち、$0$ でないものはすべて負の実数である。それらの絶対値の最小値の逆数を、この系の最長緩和時間 $\tau$ と定義する。$\tau$ を $\beta ,\Delta ,\nu$ を用いて表せ。

質量 $m$、電荷 $-e$ ($e>0$) の電子が数密度 $n$ で一様に分布し、温度 $T$ の非縮退（マクスウェル–ボルツマン分布に従う）理想気体とみなせるとする。電子のエネルギーは $\epsilon =\frac{1}{2}m{v}^2$（等方的な放物型分散）であり、平衡分布は
$$f_0(\mathbf{v})=n{\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{e}^{-\epsilon /k_{B}T}$$
である。この系に一様で時間変化しない弱い電場 $\mathbf{E}$ をかける（磁場はなく、温度は一様とする）。散乱は緩和時間近似
$${\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\text{coll}}=-\frac{f-f_0}{\tau (\epsilon )},\tau (\epsilon )={\tau }_0{\left(\frac{\epsilon }{k_{B}T}\right)}^{-1/2}$$
で表されるとする（${\tau }_0$ は正の定数）。定常状態のボルツマン方程式を電場について 1 次まで解き、電流密度 $\mathbf{j}=\sigma \mathbf{E}$ で定義される電気伝導度 $\sigma$ を $n,e,m,{\tau }_0$ を用いて表せ。

3 つの状態 $1,2,3$ をとる系が、連続時間のマスター方程式
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\sum _{j\ne i}[w(j\to i)p_j-w(i\to j)p_i](i=1,2,3)$$
にしたがって変化する。遷移率は $k>0$ を定数として
$$w(1\to 2)=2k,w(2\to 1)=k,w(2\to 3)=2k,w(3\to 2)=k$$
で、それ以外の遷移（$1\leftrightarrow 3$）は起こらない。この系の緩和時間 $\tau$（遷移行列の 0 でない固有値のうち、絶対値が最小のものの絶対値の逆数）を $k$ を用いて表せ。

非平衡定常状態にある分子モーターが、熱ゆらぎによって前向きまたは後ろ向きに 1 ステップずつ進む。1 回のステップで生じるエントロピー生成（$k_B$ を単位とした無次元量）$\sigma$ は、前向きのステップでは $\sigma =+\log 9$、後ろ向きのステップでは $\sigma =-\log 9$ であり、これ以外の値はとらない。

1 回のステップのエントロピー生成 $\sigma$ が、定常状態のゆらぎの定理
$$\frac{P(\sigma )}{P(-\sigma )}=e^{\sigma }$$
を満たすとき、1 ステップあたりの平均エントロピー生成 $⟨\sigma ⟩$ を求めよ（$\log$ は自然対数とする）。