線形代数の問題

係数行列を $A$、右辺を $\mathbf{b}={}^t(1,a,a^2,a^3)$ とする。

行列式　第 2〜4 行を第 1 行に加えると、第 1 行は $(a+3,a+3,a+3,a+3)$ となる。$a+3$ をくくり出し、第 2〜4 行からそれぞれ新しい第 1 行 $(1,1,1,1)$ を引くと
$$\det A=(a+3)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& a-1& 0& 0\\ 0& 0& a-1& 0\\ 0& 0& 0& a-1\end{array}\right|=(a+3)(a-1{)}^3$$
よって $a\ne 1,-3$ のとき $A$ は正則で、解はただ 1 つ存在する。

$a=1$ のとき　4 つの式はすべて $x_1+x_2+x_3+x_4=1$ となり（右辺も $1,1,1,1$）、たとえば $x_1=1,x_2=x_3=x_4=0$ は解である。$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A\mathbf{b})=1$ で、解は無数にある。

$a=-3$ のとき　4 つの式を辺々加えると、左辺は各 $x_i$ の係数が $-3+1+1+1=0$ なので $0$、右辺は
$$1+(-3)+9+(-27)=-20$$
となり $0=-20$ が導かれて矛盾する。よって解をもたない。（階数でいえば、$A$ の第 1〜3 行は 1 次独立で $\mathrm{rank}A=3$、一方 $\mathrm{rank}(A\mathbf{b})=4$。）

以上より、解をもたないのは $a=-3$ のときだけである。

係数行列は $(a-1)E+J$（$J$ は全成分 $1$ の行列）で、固有値は $a-1$（重複度 $3$）と $a+3$。行列式は $(a-1{)}^3(a+3)$。

行列式が $0$ でない $a\ne 1,-3$ では解がただ 1 つあるので、解なしになりうるのは $a=1$ または $a=-3$ のみ。

• $a=1$: 4 式はすべて $x_1+x_2+x_3+x_4=1$（右辺は $1,a=1,a^2=1,a^3=1$）で同一。解は無数にある。
• $a=-3$: 4 式を足すと $(a+3)(x_1+x_2+x_3+x_4)=1+a+a^2+a^3$。左辺は $0$、右辺は $1-3+9-27=-20\ne 0$ で矛盾。解なし。

よって解をもたない $a$ は $-3$ のみ。