線形代数の問題

方針：係数行列 $A$ の行列式 $|A|$ が $0$ でなければ、クラメルの公式により
$$y=\frac{|A_2|}{|A|}$$
が成り立ちます。ここで $A_2$ は、$A$ の第 2 列（$y$ の係数の列）を右辺のベクトルで置き換えた行列です。

手順 1：係数行列の行列式を求める。
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$$
第 1 行で余因子展開すると
$$|A|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right|$$
$$=1\cdot (2-1)-2\cdot (4+1)+1\cdot (-2-1)=1-10-3=-12$$
$|A|=-12\ne 0$ なので、クラメルの公式が使えます（解はただ 1 組）。

手順 2：第 2 列を右辺で置き換えた行列の行列式を求める。
右辺のベクトルは $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ なので
$$A_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$$
第 1 行で余因子展開すると
$$|A_2|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 2\end{array}\right|-4\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right|$$
$$=1\cdot (2+3)-4\cdot (4+1)+1\cdot (6-1)=5-20+5=-10$$

手順 3：クラメルの公式を適用する。
$$y=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-10}{-12}=\frac{5}{6}$$

（確認：同様に $x=\frac{-10}{-12}=\frac{5}{6}$、$z=\frac{-18}{-12}=\frac{3}{2}$ となり、これらは 3 つの式をすべて満たします。たとえば第 1 式は $\frac{5}{6}+\frac{10}{6}+\frac{9}{6}=4$ です。）

よって $y=\frac{5}{6}$ です。

係数行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$ の行列式を第1行で展開する。
$\det A=1\cdot (1\cdot 2-(-1)(-1))-2\cdot (2\cdot 2-(-1)\cdot 1)+1\cdot (2\cdot (-1)-1\cdot 1)=1\cdot 1-2\cdot 5+(-3)=-12$。

$\det A\ne 0$ なのでクラメルの公式が使える。第2列を定数項 $(4,1,3{)}^T$ に置き換えた行列の行列式を $\det A_y$ とすると
$A_y=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$、
$\det A_y=1\cdot (1\cdot 2-(-1)\cdot 3)-4\cdot (2\cdot 2-(-1)\cdot 1)+1\cdot (2\cdot 3-1\cdot 1)=5-20+5=-10$。

よって $y=\det A_y/\det A=(-10)/(-12)=5/6$。

検算: $x$ と $z$ も求める。$A_x=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 3& -1& 2\end{array}\right)$ の行列式は $4(2-1)-2(2+3)+1(-1-3)=4-10-4=-10$ なので $x=5/6$。$A_z=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 1& 1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)$ の行列式は $1(3+1)-2(6-1)+4(-2-1)=4-10-12=-18$ なので $z=3/2$。
代入すると、第1式: $5/6+5/3+3/2=5/6+10/6+9/6=24/6=4$ ✓。第2式: $5/3+5/6-3/2=10/6+5/6-9/6=1$ ✓。第3式: $5/6-5/6+3=3$ ✓。

答え: $y=5/6$