代数的位相幾何の問題

$X=S^1\vee \mathbb{R}{P}^2$（円周と実射影平面の 1 点和）とする。その基本群は
$$G={\pi }_1(X)=⟨a,b\mid b^2⟩$$
と表示される（$a$ は $S^1$ を 1 周するループ、$b$ は $\mathbb{R}{P}^2$ の基本群の生成元）。$G$ の指数 $3$ の部分群の個数を求めよ。ただし、互いに共役な部分群も異なる部分群であれば別々に数える（部分群そのものの個数を数え、共役類の個数ではない）。準同型の個数ではなく、部分群の個数を答えること。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_2$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to {\Sigma }_2$ の、被覆空間としての同型類の個数を求めよ。ただし、2 つの被覆 $p:Y\to {\Sigma }_2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to {\Sigma }_2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ をみたすものが存在することとする。

正六角形の辺に、ある頂点から反時計回りに順に語
$$abc{a}^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}$$
でラベルと向きを付ける（指数 $+1$ の辺は反時計回りの向き、指数 $-1$ の辺は時計回りの向きをもつ）。同じ文字の辺どうしを、向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $M$ とする。$M$ は向き付け可能である。$M$ の種数 $g$ を求めよ。

連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^4\to \mathbb{C}{P}^4$ が、整数係数コホモロジー $H^2(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ に $f^{\ast }(h)=-2h$（$h$ は生成元）として作用しているとする。$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _k(-1{)}^k\mathrm{tr}\left(f_{\ast }\mid H_k(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Q})\right)$$
を求めよ。

弧状連結な位相空間 $X$ の整数係数ホモロジー群が
$$H_0(X)\cong \mathbb{Z},H_1(X)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4,H_2(X)\cong \mathbb{Z}/6,H_n(X)=0(n\ge 3)$$
であるとする。係数を $\mathbb{Z}/2$ に変えたホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z}/2)$ は有限群である。その位数を求めよ。