代数的位相幾何の問題

連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^4\to \mathbb{C}{P}^4$ が、整数係数コホモロジー $H^2(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ に $f^{\ast }(h)=-2h$（$h$ は生成元）として作用しているとする。$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _k(-1{)}^k\mathrm{tr}\left(f_{\ast }\mid H_k(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Q})\right)$$
を求めよ。

$3$ 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、$x\in {\mathbb{R}}^3$ の像を $[x]$ と書く。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ から $T^3$ への $2$ つの閉曲線
$${\gamma }_1(t)=[(2t,4t,6t)],{\gamma }_2(t)=[(4t,2t,0)](t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z})$$
を考える。$2$ 次元円板 $D^2$ を $2$ 枚用意し、その境界 $\partial D^2\cong S^1$ をそれぞれ ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ によって $T^3$ に貼り付けて得られる空間を $X$ とする。$X$ の整数係数ホモロジー群について、$1$ 次ベッチ数 $b_1(X)$、$2$ 次ベッチ数 $b_2(X)$、および $H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

$0$ 胞体 $1$ 個に、$1$ 胞体 $x,y$ を接着して $2$ つの円周の一点和を作り、さらに $2$ 個の $2$ 胞体を、それぞれ語 $x^3{y}^2$ と語 $x{y}^4$ に沿って接着して得られる $2$ 次元 CW 複体を $X$ とする。基本群 ${\pi }_1(X)$ のアーベル化 ${\pi }_1(X{)}^{\mathrm{ab}}$ は有限群である。その位数を求めよ。

$0$ 胞体 $x$ を 1 個、$1$ 胞体 $a,b$ を 2 個（どちらも両端を $x$ に接着したループ）もつ $1$ 次元 CW 複体 $S^1\vee S^1$ に、$2$ 胞体 $e$ を 1 個、語
$$a^4{b}^{-1}{a}^2{b}^7$$
に沿って接着して得られる CW 複体を $X$ とする。整数係数ホモロジーについて、$H_1(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_1$、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数を $t$ とするとき、組 $(b_1,b_2,t)$ をこの順に求めよ。

トーラス $T^2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a,b$、$2$ 胞体 $e$（語 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ に沿って貼られたもの）からなる標準的な CW 構造を与える。$1$ 胞体 $a,b$ は $v$ を基点とする閉道とみなす。$T^2$ にさらに $2$ つの $2$ 胞体 $D_1,D_2$ を、境界をそれぞれ $1$ 骨格の閉道
$$a^2{b}^4,a^3{b}^{-1}$$
に沿って貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする。

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ は有限群である。$H_1(X;\mathbb{Z})$ の位数と、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を、この順に組で求めよ。