可換環論・ホモロジー代数の問題

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ のクルル次元 $\dim A$ を、$A$ の素イデアルの真の増大列 ${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$ の長さ $n$ の上限と定める。

$A$ を零環でないネーター環とする。次の同値を証明せよ。

$$A\text{ の素イデアルが有限個しかない}⟺A\text{ の極大イデアルが有限個しかなく、かつ }\dim A\le 1.$$

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- クルルの単項イデアル定理: ネーター環 $R$ の元 $x$ について、$xR$ を含む素イデアルのうち包含関係について極小なものの高さは $1$ 以下である。
- 素イデアル回避: 環 $R$ のイデアル $I$ と素イデアル ${\mathfrak{q}}_1,\dots ,{\mathfrak{q}}_r$ について、$I\subseteq {\mathfrak{q}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{q}}_r$ ならば、ある $i$ について $I\subseteq {\mathfrak{q}}_i$ である。
- ネーター環の極小素イデアルは有限個であり、任意の環で、どの素イデアルもある極小素イデアルを含む。また、どの真のイデアルもある極大イデアルに含まれる。
- 局所化・剰余環の素イデアルの対応、およびネーター環の局所化・剰余環がネーター環であること。

$k$ を体、$n$ を正の整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を各 $x_i$ の次数を $1$ とする次数付き多項式環とする。$S$ の斉次イデアル $J$ に対し、$M=S/J$ の次数 $t$ の部分を $M_t$ とし（$t<0$ のとき $M_t=0$）、ヒルベルト関数を $H_{S/J}(t)={\dim }_k{M}_t$ $(t\in \mathbb{Z})$ と定める。また、十分大きいすべての整数 $t$ で $H_{S/J}(t)=P(t)$ となる有理数係数多項式 $P$ をヒルベルト多項式とよび、$P_{S/J}$ と書く。

$r$ を $1\le r\le n$ をみたす整数、$f_1,\dots ,f_r\in S$ をそれぞれ次数 $d_1,\dots ,d_r$（いずれも正の整数）の斉次多項式とし、$J_0=0$, $J_i=(f_1,\dots ,f_i)$ $(1\le i\le r)$ とおく。各 $i=1,\dots ,r$ について $f_i$ が $S/J_{i-1}$ 上の非零因子である（すなわち $g\in S$, $g{f}_i\in J_{i-1}$ ならば $g\in J_{i-1}$）と仮定する。

このとき、ヒルベルト多項式 $P_{S/J_r}$ の次数はちょうど $n-r$ であり、その最高次の係数は
$$\frac{d_1{d}_2\cdots d_r}{(n-r)!}$$
であることを証明せよ。

ただし、$S$ の斉次イデアル $J$ に対してヒルベルト多項式 $P_{S/J}$ が存在すること、および $t\ge 0$ のとき ${\dim }_k{S}_t=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{t+n}{n}\right)$ であることは用いてよい。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ の部分集合 $S$ が積閉集合であるとは、$1\in S$ かつ $s,t\in S\Rightarrow st\in S$ が成り立つことと定める（$0\in S$ でもよい）。$S^{-1}A$ は $S$ による $A$ の局所化、$\phi :A\to S^{-1}A$, $\phi (a)=a/1$ は標準的な環準同型とし、$A^{\times }$ で $A$ の単元全体を表す。

$A$ を有限環（元の個数が有限の環）、$S$ を $A$ の積閉集合とする。このとき $\phi$ は全射であり、とくに $|S^{-1}A|\le |A|$ が成り立つこと、さらに等号 $|S^{-1}A|=|A|$ が成り立つための必要十分条件は $S\subseteq A^{\times }$ であることを証明せよ。

ただし、局所化の定義（$a/s=b/t⟺$ ある $u\in S$ について $u(at-bs)=0$）と、それから直ちに従う基本的な計算規則は用いてよい。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_3$ を 3 元体とし，
$$R={\mathbb{F}}_3[x,y]/(x^2,xy,y^2)$$
とおく（以下，$x,y$ の $R$ における像も同じ文字で表す）。$R$ 加群 $M=R/xR$，$N=R/yR$ に対し，有限アーベル群 ${\mathrm{Tor}}_5^R(M,N)$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアル・極大イデアルは環全体と異なるものとする。$$R=\mathbb{Z}[x]/(x^4+1)$$ とおく。$R$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ のうち、剰余体 $R/\mathfrak{m}$ の元の個数が $50$ 以下であるものの個数を求めよ。