可換環論・ホモロジー代数の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学可換環論・ホモロジー代数

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ の部分集合 $S$ が積閉集合であるとは、 $1 \in S$ かつ $s, t \in S \Rightarrow s t \in S$ が成り立つことと定める（ $0 \in S$ でもよい）。 $S^{- 1} A$ は $S$ による $A$ の局所化、 $φ : A \to S^{- 1} A$ , $φ (a) = a /1$ は標準的な環準同型とし、 $A^{\times}$ で $A$ の単元全体を表す。

$A$ を有限環（元の個数が有限の環）、 $S$ を $A$ の積閉集合とする。このとき $φ$ は全射であり、とくに $∣ S^{- 1} A ∣ \leq ∣ A ∣$ が成り立つこと、さらに等号 $∣ S^{- 1} A ∣ = ∣ A ∣$ が成り立つための必要十分条件は $S \subseteq A^{\times}$ であることを証明せよ。

ただし、局所化の定義（ $a / s = b / t ⟺$ ある $u \in S$ について $u (a t - b s) = 0$ ）と、それから直ちに従う基本的な計算規則は用いてよい。

この問題で使うもの

局所化と素イデアルの対応（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

全射性は、各 $s \in S$ について $1/ s$ が $A$ のある元 $b$ を使って $b /1$ と書けることを示せばよい。等号の条件は、 $φ$ が単射になる条件として考える。

ヒント 2

$A$ は有限なので $s$ のべきはどこかで繰り返し、 $s^{m} = s^{m + k}$ $(m, k \geq 1)$ となる。また $a /1 = 0$ は「ある $u \in S$ で $u a = 0$ 」と同値である。

ヒント 3

$S^{- 1} A$ では $s^{m} /1$ が単元なので $s^{m} (1 - s^{k}) = 0$ から $s^{k} /1 = 1$ が出て、 $1/ s = s^{k - 1} /1$ となる。これで $a / s = φ (a s^{k - 1})$ と書ける。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

有限性から $s^{m} = s^{m + k}$ $(m, k \geq 1)$ となる $m, k$ の存在を導いている（2 点）
$S^{- 1} A$ で $s^{m} /1$ が単元であることを使って $s^{k} /1 = 1$ を示し、 $1/ s = s^{k - 1} /1$ から $a / s$ が $φ$ の像に入ること（全射性）と $∣ S^{- 1} A ∣ \leq ∣ A ∣$ を結論している（3 点）
$φ$ の核が「ある $u \in S$ で $u a = 0$ 」となる $a$ の全体であることを局所化の定義から述べている（1 点）
$S \subseteq A^{\times}$ のとき $φ$ が単射になり、等号が成り立つことを示している（2 点）
等号のとき $φ$ が単射であることから各 $s \in S$ の掛け算写像が単射、有限性から全射となり、 $s$ が単元であることを示している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

手順 1（ $φ$ の全射性）. $s \in S$ を任意にとる。 $s, s^{2}, s^{3}, \dots$ はすべて有限集合 $A$ の元なので、鳩の巣原理より、ある正の整数 $m$ と $k$ について $s^{m} = s^{m + k}$ が成り立つ。すなわち
$s^{m} (1 - s^{k}) = 0.$
$S^{- 1} A$ において $s^{m} /1$ は単元である（逆元は $1/ s^{m}$ で、 $s^{m} \in S$ だから）。上式の両辺の像をとると $(s^{m} /1) ((1 - s^{k}) /1) = 0$ であり、両辺に $1/ s^{m}$ を掛けて $(1 - s^{k}) /1 = 0$ 、すなわち $s^{k} /1 = 1$ を得る。 $k \geq 1$ なので $s^{k - 1} \in A$ （ $k = 1$ のときは $s^{0} = 1$ ）であり、
$\frac{s ^{k - 1}}{1} \cdot \frac{s}{1} = \frac{s ^{k}}{1} = 1$
より $\frac{1}{s} = \frac{s ^{k - 1}}{1}$ である（ $S^{- 1} A$ における $s /1$ の逆元は一意で、それは $1/ s$ だから）。

したがって、 $S^{- 1} A$ の任意の元 $a / s$ $(a \in A, s \in S)$ について、上のように $k$ をとれば
$\frac{a}{s} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{s} = \frac{a s ^{k - 1}}{1} = φ (a s^{k - 1})$
となる。よって $φ$ は全射であり、全射の像の個数は定義域の個数以下なので $∣ S^{- 1} A ∣ \leq ∣ A ∣$ である。

手順 2（ $φ$ の核）. 局所化の定義より、 $a \in A$ について
$φ (a) = 0 ⟺ \frac{a}{1} = \frac{0}{1} ⟺ ある u \in S について u a = 0$
である。

手順 3（ $S \subseteq A^{\times}$ ならば等号）. $S \subseteq A^{\times}$ とする。 $φ (a) = 0$ なら、手順 2 よりある $u \in S$ について $u a = 0$ であり、 $u$ は単元なので両辺に $u^{- 1}$ を掛けて $a = 0$ となる。よって $φ$ は単射である。手順 1 と合わせて $φ$ は全単射であり、 $∣ S^{- 1} A ∣ = ∣ A ∣$ が成り立つ。

手順 4（等号ならば $S \subseteq A^{\times}$ ）. $∣ S^{- 1} A ∣ = ∣ A ∣$ とする。 $φ$ は有限集合 $A$ から同じ個数の有限集合 $S^{- 1} A$ への全射なので、単射でもある。 $s \in S$ を任意にとり、写像 $μ_{s} : A \to A$ , $μ_{s} (a) = s a$ を考える。 $μ_{s} (a) = μ_{s} (b)$ とすると $s (a - b) = 0$ であり、 $s \in S$ だから手順 2 より $φ (a - b) = 0$ 、 $φ$ の単射性より $a = b$ となる。よって $μ_{s}$ は単射であり、 $A$ は有限集合なので $μ_{s}$ は全射でもある。とくに $s b = 1$ をみたす $b \in A$ が存在し、 $s \in A^{\times}$ である。 $s$ は任意だったので $S \subseteq A^{\times}$ である。

以上より、有限環 $A$ とその積閉集合 $S$ について、標準準同型 $A \to S^{- 1} A$ は全射で $∣ S^{- 1} A ∣ \leq ∣ A ∣$ が成り立ち、等号が成り立つのは $S \subseteq A^{\times}$ のとき、かつそのときに限る。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

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