可換環論・ホモロジー代数の問題

方針. $M$ の $R$ 上の自由分解を作り、$N$ とのテンソル積をとった複体の $2$ 次のホモロジーを計算する。

1. 自由分解を作る. 全射 $R\to M=\mathbb{Z}/3$ の核は $3R=\{0,3,6,\dots ,24\}$ で、これは $R\stackrel{3}{\to }R$ の像である。次に $R\stackrel{3}{\to }R$ の核は $3a\equiv 0(\mathrm{mod}27)$ となる $a$、すなわち $9R$ で、これは $R\stackrel{9}{\to }R$ の像である。さらに $R\stackrel{9}{\to }R$ の核は $9a\equiv 0(\mathrm{mod}27)$ となる $a$、すなわち $3R$ で、これは $R\stackrel{3}{\to }R$ の像である。以下これをくり返して、周期的な自由分解
$$\cdots \stackrel{9}{\to }R\stackrel{3}{\to }R\stackrel{9}{\to }R\stackrel{3}{\to }R\to M\to 0$$
を得る。$F_i=R$ とし、$d_1=3$, $d_2=9$, $d_3=3$, $\dots$（奇数番目は $3$ 倍、偶数番目は $9$ 倍）である。

2. $N$ とのテンソル積をとる. $R{\otimes }_{R}N\cong N$ で、$a$ 倍写像は $N$ 上の $a$ 倍写像になるので、複体
$$\cdots \to N\stackrel{3}{\to }N\stackrel{9}{\to }N\stackrel{3}{\to }N\to 0$$
（右端が $0$ 次）を得る。

3. $2$ 次のホモロジーを計算する.
$${\mathrm{Tor}}_2^R(M,N)=\frac{\mathrm{Ker}(d_2\otimes N)}{\mathrm{Im}(d_3\otimes N)}=\frac{\mathrm{Ker}(N\stackrel{9}{\to }N)}{\mathrm{Im}(N\stackrel{3}{\to }N)}.$$
$N=\mathbb{Z}/9$ では $9$ 倍写像は $0$ なので核は $N$ 全体（位数 $9$）。$3$ 倍写像の像は $3N=\{0,3,6\}$（位数 $3$）。よって
$$|{\mathrm{Tor}}_2^R(M,N)|=\frac{9}{3}=3.$$

$R=\mathbb{Z}/27$, $M=R/3R$。$M$ の $R$ 上の自由分解は周期的で、
$$\cdots \stackrel{3}{\to }R\stackrel{9}{\to }R\stackrel{3}{\to }R\to M\to 0$$
（$\ker (3)=9R=\mathrm{im}(9)$, $\ker (9)=3R=\mathrm{im}(3)$ なので完全）。すなわち $d_1=3,d_2=9,d_3=3,d_4=9,\dots$。

$N=\mathbb{Z}/9$ とテンソルすると、各項は $N$、写像は $d_1=3,d_2=9=0,d_3=3,\dots$（$N$ 上で $9=0$）:
$$\cdots \stackrel{3}{\to }N\stackrel{0}{\to }N\stackrel{3}{\to }N\to 0$$
（左から $P_3\otimes N,P_2\otimes N,P_1\otimes N,P_0\otimes N$。）

${\mathrm{Tor}}_2^R(M,N)=\ker (d_2\otimes N)/\mathrm{im}(d_3\otimes N)=N/3N\cong \mathbb{Z}/3$。位数 3。

検算: ${\mathrm{Tor}}_1=\ker (3:N\to N)/\mathrm{im}(0)=3N\cong \mathbb{Z}/3$、${\mathrm{Tor}}_0=N/3N=\mathbb{Z}/3=M\otimes N$ と一致（$\mathbb{Z}/3\otimes \mathbb{Z}/9=\mathbb{Z}/3$）。周期性より ${\mathrm{Tor}}_n$ はすべて位数 3。