可換環論・ホモロジー代数の問題

中国剰余定理で分解する. $12=4\cdot 3$ で $(4)+(3)=\mathbb{Z}$ なので、
$$R\cong \mathbb{Z}[x]/(4,x^2+x+1)\times \mathbb{Z}[x]/(3,x^2+x+1)=:A\times B.$$
単数群は $R^{\times }\cong A^{\times }\times B^{\times }$ なので、$|R^{\times }|=|A^{\times }|\cdot |B^{\times }|$。

$A=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]/(x^2+x+1)$. $A$ は $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 上 $1,x$ を基底とする自由加群なので $|A|=16$。$2$ を法とすると $x^2+x+1$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上既約（${\mathbb{F}}_2$ に根をもたない 2 次式）なので $A/2A\cong {\mathbb{F}}_2[x]/(x^2+x+1)\cong {\mathbb{F}}_4$ は体。$2A$ は冪零イデアル（$(2A{)}^2=4A=0$）で、剰余が体だから $2A$ は $A$ のただ 1 つの極大イデアルであり、$A$ は局所環。局所環では極大イデアルに属さない元がちょうど単元なので
$$|A^{\times }|=|A|-|2A|=16-4=12.$$
（$|2A|=|A|/|A/2A|=16/4=4$。）

$B={\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+x+1)$. ${\mathbb{F}}_3$ では $x^2+x+1=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ なので $B={\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^2)$。$t=x-1$ とおくと $B\cong {\mathbb{F}}_3[t]/(t^2)$ で、これは極大イデアル $(t)$（元の個数 $3$）をもつ局所環、$|B|=9$。よって
$$|B^{\times }|=9-3=6.$$

結論.
$$|R^{\times }|=12\times 6=72.$$

$R=(\mathbb{Z}/12)[x]/(x^2+x+1)$ である。$\mathbb{Z}/12\cong \mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/3$ （中国剰余定理）より
$R\cong (\mathbb{Z}/4)[x]/(x^2+x+1)\times (\mathbb{Z}/3)[x]/(x^2+x+1)$。

(i) 因子 $A=(\mathbb{Z}/4)[x]/(x^2+x+1)$: 法 2 で $x^2+x+1$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上既約（根 0, 1 をもたない）。$A$ は $\mathbb{Z}/4$ 上自由で階数 2、元の数は $16$。極大イデアルは $(2)$ で $A/(2)\cong {\mathbb{F}}_4$（4 元）、$A$ は局所環（ガロア環 $GR(4,2)$）。非単元は $(2)$ の元で 4 個。よって $|A^{\times }|=16-4=12$。

(ii) 因子 $B=(\mathbb{Z}/3)[x]/(x^2+x+1)$: ${\mathbb{F}}_3$ 上 $x^2+x+1=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$。$\epsilon =x-1$ とおくと $B\cong {\mathbb{F}}_3[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$、元の数は 9 で局所環、極大イデアルは $(\epsilon )$（3 元）。よって $|B^{\times }|=9-3=6$。

以上より $|R^{\times }|=|A^{\times }|\cdot |B^{\times }|=12\times 6=72$。

検算: $|R|=144=16\cdot 9$ であり、$R$ の非単元は $(2)$ または $(x-1)$ に含まれる元。$|R^{\times }|=|R|\prod (1-1/|\text{剰余体}|)=144\cdot (1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{3})=144\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=72$ で一致する。