くり返し抽出

新しい有機溶媒で $n$ 回抽出したときの水相の残存率 $(\frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}})^{n}$ を求め、目標の抽出率に必要な最小回数を求められる

前提

分配係数と抽出率（大学化学溶液内の平衡）
等差数列・等比数列の一般項（数学B 数列）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

水溶液に溶けている物質 S を有機溶媒に移す操作（抽出）を、新しい有機溶媒に取りかえながら $n$ 回くり返したとき、水相に残る S の割合を求めます。残存率は $(\frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}})^{n}$ という等比数列の形になるので、「99% 以上抽出するには最低何回必要か」といった問いに、不等式を解いて答えられます。分液漏斗を使った実験の計画や、同じ量の溶媒を 1 回で使うか分けて使うかの比較に使います。

なぜそうしてよいのか

1 回の抽出の抽出率は $E = \frac{K _{D} V _{org}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}}$ でした。したがって、抽出のあとに水相に残る割合は $q = 1 - E = \frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}}$ です。ここで大切なのは、 $q$ が水相にもともとあった S の量によらず、 $K_{D}$ と体積 $V_{aq}, V_{org}$ だけで決まることです（分配平衡 $[S]_{org} = K_{D} [S]_{aq}$ は濃度の比で決まるので、S の量が何倍になっても両相への振り分けの比は変わりません）。

有機相を分けて取り除き、水相（体積 $V_{aq}$ のまま）に体積 $V_{org}$ の新しい有機溶媒を加えて 2 回目の抽出をすると、そのとき水相にある量の $q$ 倍がまた水相に残ります。はじめの物質量を $m_{0}$ とすると、 $k$ 回目のあとに残る量 $m_{k}$ は $m_{k} = q m_{k - 1}$ を満たすので、 $m_{0}, m_{1}, m_{2}, \dots$ は公比 $q$ の等比数列で、 $m_{n} = m_{0} q^{n}$ です。よって $n$ 回抽出後の残存率は $\frac{m _{n}}{m _{0}} = q^{n} = (\frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}})^{n}$ 、通算の抽出率は $1 - q^{n}$ です。

目標の抽出率を $E_{t}$ （t は target の頭文字）とすると、必要な条件は $1 - q^{n} \geq E_{t}$ 、つまり $q^{n} \leq 1 - E_{t}$ です。 $0 < q < 1$ なので $q^{n}$ は $n$ とともに減っていき、この不等式を満たす最小の自然数 $n$ が必要な最小回数です。両辺の自然対数をとると $n lo g q \leq lo g (1 - E_{t})$ で、 $lo g q < 0$ だから割ると不等号の向きが変わり、 $n \geq \frac{lo g ( 1 - E _{t} )}{lo g q}$ となります。

手順

1 回あたりの水相の残存率 $q = \frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}}$ を計算する（ $V_{org}$ は 1 回に使う有機溶媒の体積）
$n$ 回抽出後の残存率を $q^{n}$ 、通算の抽出率を $1 - q^{n}$ と書く
目標の抽出率 $E_{t}$ から、不等式 $q^{n} \leq 1 - E_{t}$ を立てる
不等式を解く。 $q$ が簡単な分数なら $(\frac{1}{q})^{n} \geq \frac{1}{1 - E _{t}}$ として $n$ を順に試すか、対数を使って $n \geq \frac{lo g ( 1 - E _{t} )}{lo g q}$ （ $lo g q < 0$ で割るので不等号が逆向きになる）とする
不等式を満たす最小の自然数 $n$ を答える。境目の前後の $n$ で $q^{n}$ を計算して確かめる

例題

物質 S を含む水溶液 $100 mL$ から、1 回あたり $50 mL$ の新しい有機溶媒を使って S を抽出する操作をくり返す。この系での S の分配係数を $K_{D} = [S]_{org} / [S]_{aq} = 4.0$ とし、抽出の間に両相の体積は変わらないものとする。はじめに水溶液に含まれていた S の $99%$ 以上を有機相に抽出するのに必要な抽出の最小回数を求めよ。

例題の解答

手順 1: 1 回あたりの水相の残存率は
$q = \frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}} = \frac{100}{100 + 4.0 \times 50} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3}$
手順 2: $n$ 回抽出後の残存率は $(\frac{1}{3})^{n}$ 、通算の抽出率は $1 - (\frac{1}{3})^{n}$ である。
手順 3: $99%$ 以上抽出する条件は $1 - (\frac{1}{3})^{n} \geq 0.99$ 、すなわち $(\frac{1}{3})^{n} \leq 0.01$ 。
手順 4: 逆数をとると $3^{n} \geq 100$ 。対数を使えば $n \geq \frac{lo g 100}{lo g 3} \approx \frac{4.605}{1.099} \approx 4.19$ となる。
手順 5: 確かめると、 $3^{4} = 81 < 100$ （4 回では残存率 $\frac{1}{81} \approx 1.2%$ で不足）、 $3^{5} = 243 \geq 100$ （5 回で残存率 $\frac{1}{243} \approx 0.41%$ ）。よって最小回数は $5$ 回。

答え: $5$

よくある誤り

$n$ 回の抽出率を $1$ 回の抽出率の $n$ 倍 $n E$ としてしまう誤り。例題では $E = \frac{2}{3}$ なので $2 E > 1$ となり意味をなさない。正しくは残存率が $q^{n}$ でかけ算的に減るので、通算の抽出率は $1 - (1 - E)^{n}$ 。
残存率に抽出率 $E$ を使って $E^{n} \leq 1 - E_{t}$ としてしまう誤り。正しくは水相に残る割合 $q = 1 - E = \frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{org}}$ を $n$ 乗して $q^{n} \leq 1 - E_{t}$ とする。
対数をとったあと $lo g q < 0$ で割るのに不等号の向きをそのままにして $n \leq \frac{lo g ( 1 - E _{t} )}{lo g q}$ としてしまう誤り。正しくは負の数で割るので $n \geq \frac{lo g ( 1 - E _{t} )}{lo g q}$ となる。
有機溶媒の総量 $V_{tot}$ を $n$ 回に分けるときに、各回の残存率を $\frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{tot}}$ のまま $n$ 乗してしまう誤り。正しくは 1 回に使う体積 $V_{tot} / n$ を入れて $(\frac{V _{aq}}{V _{aq} + K _{D} V _{tot} / n})^{n}$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある有機化合物 $S$ を含む水溶液 $50 mL$ がある。これに水と混ざり合わない新しい有機溶媒 $10 mL$ を加えてよく振り混ぜ、分配平衡に達したあと有機相を取り除く、という操作をくり返す。 $S$ の分配係数は
$K_{D} = \frac{[ S ] _{org}}{[ S ] _{aq}} = 20$
である。はじめに水溶液中にあった $S$ の $99 %$ 以上を有機相に抽出する（水相の残存率を $0.01$ 以下にする）には、最小で何回この操作を行えばよいか。ただし、 $S$ は両相で同じ化学種として存在し（解離や会合をしない）、操作ごとに水相の体積は $50 mL$ のまま変わらず、有機相は毎回完全に取り除けるものとする。

くり返し抽出

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

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よくある誤り

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