ベクトル解析の問題

公式 $\nabla r^n=n{r}^{n-2}\mathbf{r}$ と $\nabla \cdot \mathbf{r}=3$ を使います。

ステップ 1：勾配を求める。 $n=3$ とすると
$$\nabla r^3=3r^{3-2}\mathbf{r}=3r\mathbf{r}.$$

ステップ 2：発散を求める。 スカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{A}$ の積の発散の公式 $\nabla \cdot (f\mathbf{A})=\nabla f\cdot \mathbf{A}+f\nabla \cdot \mathbf{A}$ を $f=r$、$\mathbf{A}=\mathbf{r}$ に用います。$n=1$ の公式から $\nabla r=\frac{\mathbf{r}}{r}$ なので
$$\nabla r\cdot \mathbf{r}=\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{r}}{r}=\frac{r^2}{r}=r$$
です。これと $\nabla \cdot \mathbf{r}=3$ から
$$\nabla \cdot (r\mathbf{r})=r+3r=4r$$
となります。よって
$$\nabla \cdot (\nabla r^3)=3\cdot 4r=12r.$$
これは一般公式 $\nabla \cdot (\nabla r^n)=n(n+1)r^{n-2}$ に $n=3$ を代入した $3\cdot 4\cdot r=12r$ と一致します。

ステップ 3：点の値を代入する。 点 $(2,3,6)$ では
$$r=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7$$
なので、求める値は
$$12\times 7=84$$
です。

$\phi =r^n$ のラプラシアンは、球対称な場の公式 ${\nabla }^{2}f(r)=f^{\prime \prime }+\frac{2}{r}{f}^{\prime }$ から求める。$f=r^3$ のとき $f^{\prime }=3r^2$、$f^{\prime \prime }=6r$ なので、${\nabla }^2\phi =6r+\frac{2}{r}\cdot 3r^2=6r+6r=12r$。

別の方法で検算する。$\nabla \phi =3r^2\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}=3r\mathbf{r}$ である。発散は $\nabla \cdot (3r\mathbf{r})=3(\nabla r\cdot \mathbf{r}+r\nabla \cdot \mathbf{r})=3\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot \mathbf{r}+3r\right)=3(r+3r)=12r$。2 通りの結果が一致した。

点 $(2,3,6)$ では $r=\sqrt{4+9+36}=7$ なので、$12r=84$。