ベクトル解析の問題

外積の成分の公式

$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき、外積は次の式で表されます。
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

手順 1：成分を代入する

$a_1=1,a_2=0,a_3=2$、$b_1=0,b_2=1,b_3=2$ を代入します。

• $x$ 成分：$a_2{b}_3-a_3{b}_2=0\cdot 2-2\cdot 1=-2$
• $y$ 成分：$a_3{b}_1-a_1{b}_3=2\cdot 0-1\cdot 2=-2$
• $z$ 成分：$a_1{b}_2-a_2{b}_1=1\cdot 1-0\cdot 0=1$

よって
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(-2,-2,1)$$
です。

手順 2：垂直であることを確かめる（検算）

外積は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に垂直です。内積を計算して確かめます。
$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{a}=(-2)\cdot 1+(-2)\cdot 0+1\cdot 2=0$$
$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=(-2)\cdot 0+(-2)\cdot 1+1\cdot 2=0$$
どちらも $0$ なので、計算は正しいとわかります。

手順 3：大きさから面積を求める

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$ が成り立ちます。右辺は、$\mathbf{a}$ を底辺としたときの高さが $|\mathbf{b}|\sin \theta$ であることから、平行四辺形の面積そのものです。したがって
$$S=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{9}=3$$

答え：$S=3$

外積は $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$ で計算する。
$a_2{b}_3-a_3{b}_2=0\cdot 2-2\cdot 1=-2$、$a_3{b}_1-a_1{b}_3=2\cdot 0-1\cdot 2=-2$、$a_1{b}_2-a_2{b}_1=1\cdot 1-0\cdot 0=1$。
よって $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(-2,-2,1)$。
平行四辺形の面積は外積の大きさなので $S=\sqrt{4+4+1}=3$。
検算: $|\mathbf{a}{|}^2=5$、$|\mathbf{b}{|}^2=5$、$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=4$ より $S^2=5\cdot 5-4^2=9$、$S=3$。また外積が $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ と直交することも確認できる（$-2+0+2=0$、$0-2+2=0$）。
外積は $(-2,-2,1)$、面積は $S=3$。