ベクトル解析の問題

方針　$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積は、外積の大きさ $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ に等しい（$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$ で、これは底辺 $|\mathbf{a}|$、高さ $|\mathbf{b}|\sin \theta$ の平行四辺形の面積である）。

手順 1：外積を成分で計算する　$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$
である。$a_1=1,a_2=2,a_3=0$, $b_1=3,b_2=-1,b_3=2$ を代入すると
- $x$ 成分：$2\cdot 2-0\cdot (-1)=4$
- $y$ 成分：$0\cdot 3-1\cdot 2=-2$
- $z$ 成分：$1\cdot (-1)-2\cdot 3=-7$

よって $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(4,-2,-7)$。

確認（垂直であること）　$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=4-4+0=0$、$\mathbf{b}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=12+2-14=0$ となり、外積が $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ の両方に垂直であることが確かめられる。

手順 2：大きさを求める
$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{16+4+49}=\sqrt{69}$$

別の確認　$|\mathbf{a}{|}^2=5$, $|\mathbf{b}{|}^2=14$, $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3-2+0=1$ より $S^2=|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2=70-1=69$ となり一致する。

したがって $S=\sqrt{69}$ である。

外積を計算する。$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(2\cdot 2-0\cdot (-1),0\cdot 3-1\cdot 2,1\cdot (-1)-2\cdot 3)=(4,-2,-7)$。
平行四辺形の面積は外積の大きさに等しいので、$S=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=\sqrt{16+4+49}=\sqrt{69}$。
検算：$|\mathbf{a}{|}^2=5$、$|\mathbf{b}{|}^2=14$、$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3-2+0=1$ より、$S^2=|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2=70-1=69$。よって $S=\sqrt{69}$ で一致する。また外積が $\mathbf{a}$ と直交することは $4-4+0=0$、$\mathbf{b}$ と直交することは $12+2-14=0$ で確かめられる。