ベクトル解析の問題

方針 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積は、外積の大きさ $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ に等しい。

手順 1：外積を成分で計算する。 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$
である。$a_1=1,a_2=2,a_3=2$, $b_1=2,b_2=1,b_3=-2$ を代入すると
- $x$ 成分：$a_2{b}_3-a_3{b}_2=2\cdot (-2)-2\cdot 1=-4-2=-6$
- $y$ 成分：$a_3{b}_1-a_1{b}_3=2\cdot 2-1\cdot (-2)=4+2=6$
- $z$ 成分：$a_1{b}_2-a_2{b}_1=1\cdot 1-2\cdot 2=1-4=-3$

よって $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(-6,6,-3)$。

検算（垂直であることの確認） 外積は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に垂直なので、内積が 0 になるはずである。
$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=1\cdot (-6)+2\cdot 6+2\cdot (-3)=-6+12-6=0$$
$$\mathbf{b}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=2\cdot (-6)+1\cdot 6+(-2)\cdot (-3)=-12+6+6=0$$
となり、計算が正しいことが確かめられる。

手順 2：大きさを求める。
$$S=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=\sqrt{(-6{)}^2+6^2+(-3{)}^2}=\sqrt{36+36+9}=\sqrt{81}=9$$

別解（確認） $|\mathbf{a}|=\sqrt{1+4+4}=3$, $|\mathbf{b}|=\sqrt{4+1+4}=3$, $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2+2-4=0$ より $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ なので、この平行四辺形は 1 辺 3 の正方形であり、面積は $3\times 3=9$ となって一致する。

したがって、平行四辺形の面積は $S=9$ である。

外積を計算する。$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(2\cdot (-2)-2\cdot 1,2\cdot 2-1\cdot (-2),1\cdot 1-2\cdot 2)=(-6,6,-3)$。よって $S=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=\sqrt{36+36+9}=\sqrt{81}=9$。検算：$|\mathbf{a}|=3$、$|\mathbf{b}|=3$、$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2+2-4=0$ なので 2 つのベクトルは直交し、面積は $3\cdot 3=9$ となり一致する。