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ベクトル解析の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学ベクトル解析

$x y$ 平面上で、放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = 2 x$ で囲まれた有界な領域を $D$ とし、 $D$ の境界を正の向き（反時計回り、 $D$ を左側に見て進む向き）に 1 周する閉曲線を $C$ とする。線積分
$I = \oint_{C} (sin x - x^{2} y) d x + (x y^{2} + e^{y}) d y$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

グリーンの定理（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）
重積分と累次積分（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$sin x$ や $e^{y}$ を含む線積分を直接計算するのは大変なので、グリーンの定理で $D$ 上の重積分に書き換えよう。

ヒント 2

$P = sin x - x^{2} y, Q = x y^{2} + e^{y}$ として $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ を計算する。 $sin x$ と $e^{y}$ の項は消える。

ヒント 3

被積分関数は $x^{2} + y^{2}$ 、領域は $D = {0 \leq x \leq 2, x^{2} \leq y \leq 2 x}$ 。 $y$ について先に積分すると $\int_{0}^{2} (\frac{14}{3} x^{3} - x^{4} - \frac{1}{3} x^{6}) d x$ になる。

答えと解説

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\frac{216}{35}

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解説を読む

$P (x, y) = sin x - x^{2} y, Q (x, y) = x y^{2} + e^{y}$ とおく。 $P, Q$ は平面全体で $C^{1}$ 級であり、 $C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線で $D$ の境界を正の向きに回るので、グリーンの定理
$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$
が使える。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = y^{2}, \frac{\partial P}{\partial y} = - x^{2}$
より
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = x^{2} + y^{2} .$

領域 $D$ . $x^{2} = 2 x$ を解くと $x = 0, 2$ 。 $0 \leq x \leq 2$ では $x^{2} \leq 2 x$ なので
$D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, x^{2} \leq y \leq 2 x} .$

重積分の計算.
$I = \int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x} (x^{2} + y^{2}) d y d x = \int_{0}^{2} [x^{2} y + \frac{y ^{3}}{3}]_{y = x^{2}}^{y = 2 x} d x .$
内側は
$(2 x^{3} + \frac{8 x ^{3}}{3}) - (x^{4} + \frac{x ^{6}}{3}) = \frac{14}{3} x^{3} - x^{4} - \frac{1}{3} x^{6} .$
よって
$I = \int_{0}^{2} (\frac{14}{3} x^{3} - x^{4} - \frac{1}{3} x^{6}) d x = [\frac{7}{6} x^{4} - \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{7}}{21}]_{0}^{2} = \frac{56}{3} - \frac{32}{5} - \frac{128}{21} .$
分母を $105$ にそろえると
$I = \frac{1960 - 672 - 640}{105} = \frac{648}{105} = \frac{216}{35} .$

別解

交点は $x^{2} = 2 x$ より $x = 0, 2$ 。 $D = {0 \leq x \leq 2, x^{2} \leq y \leq 2 x}$ 。グリーンの定理より $I = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ 。 $P = sin x - x^{2} y$ 、 $Q = x y^{2} + e^{y}$ なので $Q_{x} = y^{2}$ 、 $P_{y} = - x^{2}$ 、被積分関数は $x^{2} + y^{2}$ 。

$\int_{0}^{2} [x^{2} y + \frac{y ^{3}}{3}]_{x^{2}}^{2 x} d x = \int_{0}^{2} (2 x^{3} + \frac{8 x ^{3}}{3} - x^{4} - \frac{x ^{6}}{3}) d x = \int_{0}^{2} (\frac{14}{3} x^{3} - x^{4} - \frac{x ^{6}}{3}) d x$
$= \frac{14}{3} \cdot 4 - \frac{32}{5} - \frac{128}{21} = \frac{1960 - 672 - 640}{105} = \frac{648}{105} = \frac{216}{35}$ 。

検算: $\frac{56}{3} \approx 18.667$ 、 $\frac{32}{5} = 6.4$ 、 $\frac{128}{21} \approx 6.095$ で $18.667 - 6.4 - 6.095 = 6.172$ 、 $\frac{216}{35} \approx 6.171$ と一致。

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