微分積分の問題

曲面 $z=f(x,y)$ の、領域 $D$ の上にある部分の面積は
$$S={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$
で与えられます。

$f(x,y)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\sqrt{3}y$ より
$$f_x=x^{\frac{1}{2}},f_y=\sqrt{3}$$
です。これらは $D$ 上で連続なので公式が使えます。よって
$$1+f_x^2+f_y^2=1+x+3=x+4$$
となります。

領域 $D$ は $0\le x\le 5,0\le y\le x$ と表せるので、$y$ から先に積分します。
$$S={\int }_0^5\left({\int }_0^x\sqrt{x+4}dy\right)dx={\int }_0^{5}x\sqrt{x+4}dx$$

$u=x+4$ と置換すると、$x=u-4$、$dx=du$ で、$x:0\to 5$ のとき $u:4\to 9$ です。
$$S={\int }_4^9(u-4)u^{\frac{1}{2}}du={\int }_4^9\left(u^{\frac{3}{2}}-4u^{\frac{1}{2}}\right)du={\left[\frac{2}{5}{u}^{\frac{5}{2}}-\frac{8}{3}{u}^{\frac{3}{2}}\right]}_4^9$$

$9^{\frac{5}{2}}=243$、$9^{\frac{3}{2}}=27$、$4^{\frac{5}{2}}=32$、$4^{\frac{3}{2}}=8$ なので
$$S=\left(\frac{486}{5}-72\right)-\left(\frac{64}{5}-\frac{64}{3}\right)=\frac{422}{5}-72+\frac{64}{3}=\frac{1266-1080+320}{15}=\frac{506}{15}$$

したがって $S=\frac{506}{15}$（およそ $33.7$）です。

曲面 $z=f(x,y)$ について $f_x=x^{1/2}$, $f_y=\sqrt{3}$ なので、$\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+x+3}=\sqrt{x+4}$。

$S={\iint }_D\sqrt{x+4}dxdy={\int }_0^5{\int }_0^x\sqrt{x+4}dydx={\int }_0^{5}x\sqrt{x+4}dx$。

$u=x+4$ と置くと ${\int }_4^9(u-4)u^{1/2}du={\left[\frac{2}{5}{u}^{5/2}-\frac{8}{3}{u}^{3/2}\right]}_4^9$。

$u=9$ のとき $\frac{486}{5}-72=\frac{126}{5}$、$u=4$ のとき $\frac{64}{5}-\frac{64}{3}=-\frac{128}{15}$。

差は $\frac{126}{5}+\frac{128}{15}=\frac{378+128}{15}=\frac{506}{15}$。

検算：${\int }_0^{5}x\sqrt{x+4}dx$ を概算すると、$x=0,2.5,5$ で被積分関数は $0,2.5\sqrt{6.5}\approx 6.37,15$。シンプソン則で $\frac{5}{6}(0+4\cdot 6.37+15)\approx 33.2$。$506/15\approx 33.73$ で整合する。