微分積分の問題

極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ に変換する。ヤコビアンは
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r$$
なので $dxdy=rdrd\theta$。

条件 $x^2+y^2\le 2x$ は $r^2\le 2r\cos \theta$、すなわち $0\le r\le 2\cos \theta$（$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）となる（$D$ は中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円板）。被積分関数は $\sqrt{x^2+y^2}=r$ だから
$$I={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\int }_0^{2\cos \theta }r\cdot rdrd\theta ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{(2\cos \theta {)}^3}{3}d\theta =\frac{8}{3}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta .$$
ここで ${\cos }^3\theta =(1-{\sin }^2\theta )\cos \theta$ より
$${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta ={\left[\sin \theta -\frac{{\sin }^3\theta }{3}\right]}_{-\pi /2}^{\pi /2}=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}.$$
よって
$$I=\frac{8}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{32}{9}.$$

$x^2+y^2\le 2x$ は $(x-1{)}^2+y^2\le 1$ で、中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円板。極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ で $r^2\le 2r\cos \theta$、すなわち $0\le r\le 2\cos \theta$、$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。

$I={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\int }_0^{2\cos \theta }r\cdot rdrd\theta ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{8{\cos }^3\theta }{3}d\theta =\frac{8}{3}\cdot 2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta$。

${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta ={\int }_0^1(1-s^2)ds=\frac{2}{3}$（$s=\sin \theta$）。よって $I=\frac{8}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{32}{9}$。

検算: 円板の面積 $\pi \approx 3.14$、$\sqrt{x^2+y^2}$ の平均は約 $1.13$ ($I/\pi \approx 1.13$) で、重心が $(1,0)$ で原点からの距離がおよそ $1$ なので妥当。