オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある倉庫で 2 種類の商品 $P_{1}, P_{2}$ を扱っている。それぞれの年間需要量は一定の割合で生じ、 $P_{1}$ が $4000$ 個、 $P_{2}$ が $6000$ 個である。 $1$ 回の発注費用（発注量によらない）は $P_{1}$ が $300$ 円、 $P_{2}$ が $750$ 円であり、 $1$ 個を $1$ 年間保管する費用は $P_{1}$ が $20$ 円、 $P_{2}$ が $60$ 円である。各商品は在庫が $0$ になった瞬間に発注し、注文はただちに納入される（品切れは起こさない）。 $P_{1}, P_{2}$ の $1$ 回の発注量をそれぞれ $Q_{1}, Q_{2}$ （正の実数）とし、各商品の在庫は $Q_{i}$ から $0$ まで一定の速さで減るものとする（年間保管費用は平均在庫量 $Q_{i} /2$ に比例する）。

この倉庫には商品を合計 $500$ 個までしか置けないため、両商品の最大在庫量が同時に生じてもよいように
$Q_{1} + Q_{2} \leq 500$
という制約を課す。この制約のもとで、2 商品の年間発注費用と年間保管費用の総和の最小値（円）を求めよ。

この問題で使うもの

経済的発注量（EOQ）（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず制約を無視して各商品の経済的発注量を求め、制約 $Q_{1} + Q_{2} \leq 500$ を満たすかを調べましょう。満たさなければ制約は等号で効いています。

ヒント 2

ラグランジュ関数 $L = \sum_{i} (\frac{K _{i} D _{i}}{Q _{i}} + \frac{h _{i} Q _{i}}{2}) + λ (Q_{1} + Q_{2} - 500)$ を $Q_{i}$ で微分すると $Q_{i} = \frac{K _{i} D _{i}}{h _{i} /2 + λ}$ が得られます。

ヒント 3

$Q_{1} = \frac{1200000}{10 + λ}$ , $Q_{2} = \frac{4500000}{30 + λ}$ の和が $500$ になる $λ$ を探します。根号の中が平方数になるような $λ$ を試してみましょう。

答えと解説

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32000

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解説を読む

商品 $P_{i}$ の年間需要量を $D_{i}$ 、発注費用を $K_{i}$ 、保管費用を $h_{i}$ とすると、 $P_{i}$ の年間総費用は
$C_{i} (Q_{i}) = \frac{K _{i} D _{i}}{Q _{i}} + \frac{h _{i} Q _{i}}{2}$
であり、 $K_{1} D_{1} = 300 \cdot 4000 = 1200000$ , $K_{2} D_{2} = 750 \cdot 6000 = 4500000$ , $h_{1} = 20$ , $h_{2} = 60$ である。

制約がない場合. 各商品の経済的発注量は
$Q_{1}^{*} = \frac{2 K _{1} D _{1}}{h _{1}} = 120000 \approx 346.4, Q_{2}^{*} = \frac{2 K _{2} D _{2}}{h _{2}} = 150000 \approx 387.3$
で、 $Q_{1}^{*} + Q_{2}^{*} \approx 733.7 > 500$ だから制約に反する。よって最適解では制約が等号で成り立つ。

ラグランジュ乗数法. 目的関数 $C_{1} (Q_{1}) + C_{2} (Q_{2})$ は $Q_{1}, Q_{2} > 0$ で凸（ $K_{i} D_{i} / Q_{i}$ は凸、 $h_{i} Q_{i} /2$ は 1 次）で、制約は 1 次なので、KKT 条件を満たす点が最適解になる。
$L = \frac{K _{1} D _{1}}{Q _{1}} + \frac{h _{1} Q _{1}}{2} + \frac{K _{2} D _{2}}{Q _{2}} + \frac{h _{2} Q _{2}}{2} + λ (Q_{1} + Q_{2} - 500) (λ \geq 0)$
とおくと、 $\frac{\partial L}{\partial Q _{i}} = - \frac{K _{i} D _{i}}{Q _{i}^{2}} + \frac{h _{i}}{2} + λ = 0$ より
$Q_{i} = \frac{K _{i} D _{i}}{h _{i} /2 + λ}, Q_{1} = \frac{1200000}{10 + λ}, Q_{2} = \frac{4500000}{30 + λ} .$
これらは $λ$ について狭義単調減少なので、 $Q_{1} + Q_{2} = 500$ を満たす $λ \geq 0$ はただ 1 つである。 $λ = 20$ とすると
$Q_{1} = \frac{1200000}{30} = 40000 = 200, Q_{2} = \frac{4500000}{50} = 90000 = 300$
で $Q_{1} + Q_{2} = 500$ となるから、 $λ = 20$ , $Q_{1} = 200$ , $Q_{2} = 300$ が最適解である。

最小値.
$C_{1} (200) = \frac{1200000}{200} + \frac{20 \cdot 200}{2} = 6000 + 2000 = 8000$
$C_{2} (300) = \frac{4500000}{300} + \frac{60 \cdot 300}{2} = 15000 + 9000 = 24000$
よって総費用の最小値は $8000 + 24000 = 32000$ （円）である。

別解

年間費用は $C = \sum_{i} (\frac{K _{i} D _{i}}{Q _{i}} + \frac{h _{i}}{2} Q_{i})$ 、ここで $K_{1} D_{1} = 300 \cdot 4000 = 1200000$ 、 $K_{2} D_{2} = 750 \cdot 6000 = 4500000$ 、 $h_{1} /2 = 10$ 、 $h_{2} /2 = 30$ 。\n\n制約なしの最適は $Q_{i} = 2 K_{i} D_{i} / h_{i}$ ： $Q_{1} = 120000 \approx 346.4$ 、 $Q_{2} = 150000 \approx 387.3$ 、合計 $733.7 > 500$ なので制約は有効。\n\n各項は $Q_{i}$ について凸で制約は線形なので KKT 条件が十分。ラグランジュ乗数 $λ \geq 0$ を使うと $- \frac{K _{i} D _{i}}{Q _{i}^{2}} + \frac{h _{i}}{2} + λ = 0$ 、すなわち $Q_{1} = \frac{1 200 000}{10 + λ}$ 、 $Q_{2} = \frac{4 500 000}{30 + λ}$ 。 $Q_{1} + Q_{2} = 500$ を解く。 $λ = 20$ とすると $Q_{1} = 40000 = 200$ 、 $Q_{2} = 90000 = 300$ で和が $500$ となり条件を満たす（ $λ = 20 > 0$ ✓）。左辺は $λ$ について単調減少なのでこの解は一意。\n\n費用: $P_{1}$ : $\frac{1 200 000}{200} + 10 \cdot 200 = 6000 + 2000 = 8000$ 。 $P_{2}$ : $\frac{4 500 000}{300} + 30 \cdot 300 = 15000 + 9000 = 24000$ 。合計 $32000$ 円。\n\n検算: $Q_{1} = 200, Q_{2} = 300$ 付近で $Q_{1} = 210, Q_{2} = 290$ にすると $P_{1}$ : $5714.3 + 2100 = 7814.3$ （約）、 $P_{2}$ : $15517.2 + 8700 = 24217.2$ 、合計 $32031.5 > 32000$ で、 $32000$ が小さい。

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発注量 $Q$	単価
$1 \leq Q < 500$	$1000$ 円
$500 \leq Q < 1500$	$960$ 円
$1500 \leq Q$	$945$ 円