オペレーションズ・リサーチの問題

ある喫茶店では、コーヒー豆を年間 $1600$ kg 使用する。使用は一年を通じて一定の割合で行われる。コーヒー豆の仕入れについて、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $5000$ 円の発注費用がかかる。
• 毎回 $Q$ kg ずつ発注し、発注したコーヒー豆は在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（品切れは起こさない）。
• コーヒー豆 $1$ kg を $1$ 年間保管するのに $400$ 円の保管費用がかかる。保管費用は平均在庫量 $\frac{Q}{2}$ kg に対してかかるものとする。
• 年間総費用は、年間の発注費用と年間の保管費用の和とする（豆の購入代金は発注量によらないので含めない）。

$Q$ を正の実数として、年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある喫茶店では、コーヒー豆を袋単位で仕入れている。コーヒー豆の需要は年間 $2000$ 袋で、一年を通じて一定の割合で生じる。在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $500$ 円の発注費用がかかる。
• $1$ 袋を $1$ 年間保管すると $50$ 円の保管費用がかかる。
• 毎回 $Q$ 袋（$Q>0$）ずつ発注し、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に $Q$ 袋が一度に届く（調達期間は $0$、品切れは起こさない）。
• 発注費用と保管費用以外の費用は考えない。

$1$ 年間の発注費用と保管費用の合計を年間総費用とする。$Q$ を正の実数の範囲で動かすとき、年間総費用の最小値は何円か。

ある工場では、ある部品を自社の生産ラインで製造している。この部品の需要は年間 $9000$ 個で、一定の割合で生じる。部品の生産と在庫について、次を仮定する。

• 生産中は部品が年間 $27000$ 個の一定の割合で完成し、完成した部品はただちに在庫に加わる。生産中も需要は同じ割合で生じ続ける。
• $1$ 回の生産（ロット）ごとに、生産量によらず $4000$ 円の段取り費用がかかる。
• 部品 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $300$ 円の保管費用がかかり、保管費用は在庫量の時間平均に比例する。
• 品切れは許さず、在庫がちょうど $0$ になった時点で次の生産を始める。毎回の生産量は同じ $Q$ 個とし、$Q$ は正の実数として扱ってよい。

$1$ 年あたりの段取り費用と保管費用の合計の最小値（円）を求めよ。

ある販売店は、ある部品を仕入れて販売している。部品の需要は年間 $3600$ 個で一定である。毎回 $Q$ 個（$Q$ は正の整数）ずつ発注し、発注した部品は在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（調達期間は $0$ とみなし、品切れは起こさない）。発注 $1$ 回あたりの発注費用は $2500$ 円である。年間の保管費用は、部品 $1$ 個あたり単価の $20\%$ とし、平均在庫量 $\frac{Q}{2}$ 個に対してかかるものとする。

仕入れ先は、$1$ 回の発注量 $Q$ に応じて次の数量割引を行っている（割引は発注した全数に適用される）。

年間の総費用を（購入費用）$+$（発注費用）$+$（保管費用）とするとき、年間の総費用を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間の総費用（円）を、この順に組で求めよ。

あるコーヒー焙煎所では、原料の生豆を年間 $6000\text{kg}$ 使う。使用は一年を通して一定の割合で進む。生豆は毎回 $Q\text{kg}$（$Q>0$ は実数）ずつ発注し、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $3000$ 円の発注費用がかかる。
• 発注した生豆は、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（納入までの期間は $0$ とみなし、品切れは起こさない）。
• 生豆 $1\text{kg}$ を $1$ 年間保管すると $100$ 円の保管費用がかかり、保管費用は平均在庫量に比例する。
• 生豆の購入代金は発注量によらないので考えない。

年間の発注費用と保管費用の合計（年間総費用）が最小になるように $Q$ を選ぶとき、年間総費用の最小値は何円か。