オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある工場では、ある部品を自社の生産ラインで製造している。この部品の需要は年間 $9000$ 個で、一定の割合で生じる。部品の生産と在庫について、次を仮定する。

生産中は部品が年間 $27000$ 個の一定の割合で完成し、完成した部品はただちに在庫に加わる。生産中も需要は同じ割合で生じ続ける。
$1$ 回の生産（ロット）ごとに、生産量によらず $4000$ 円の段取り費用がかかる。
部品 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $300$ 円の保管費用がかかり、保管費用は在庫量の時間平均に比例する。
品切れは許さず、在庫がちょうど $0$ になった時点で次の生産を始める。毎回の生産量は同じ $Q$ 個とし、 $Q$ は正の実数として扱ってよい。

$1$ 年あたりの段取り費用と保管費用の合計の最小値（円）を求めよ。

この問題で使うもの

経済的発注量（EOQ）（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（31 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

生産中は在庫が「生産速度 − 需要速度」で増え、生産終了後は需要速度で減ることに注目し、1 サイクルの在庫の推移を図に描いてみよう。

ヒント 2

最大在庫量は $Q (1 - \frac{D}{P})$ 、平均在庫量はその半分になる。年間費用は $\frac{K D}{Q} + \frac{h}{2} Q (1 - \frac{D}{P})$ と表せる。

ヒント 3

数値を代入すると年間費用は $C (Q) = \frac{36000000}{Q} + 100 Q$ となる。これを $Q > 0$ で最小化しよう。

答えと解説

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120000

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解説を読む

記号を $D = 9000$ （年間需要）、 $P = 27000$ （年間生産速度）、 $K = 4000$ （段取り費用）、 $h = 300$ （年間保管費用単価）とおく。

在庫の推移　 $1$ 回の生産量を $Q$ とすると、生産にかかる時間は $\frac{Q}{P}$ 年である。生産中は在庫が $P - D$ の速さで増えるので、生産終了時の在庫（最大在庫量）は
$(P - D) \cdot \frac{Q}{P} = Q (1 - \frac{D}{P}) = Q (1 - \frac{9000}{27000}) = \frac{2}{3} Q$
である。その後は速さ $D$ で減って $0$ になる。在庫量は $0$ から最大値まで直線的に増え、直線的に $0$ まで減る三角形の形をくり返すので、在庫量の時間平均は最大在庫量の半分 $\frac{1}{3} Q$ である。

年間費用　年間の生産回数は $\frac{D}{Q} = \frac{9000}{Q}$ 回なので、
$C (Q) = K \cdot \frac{D}{Q} + h \cdot \frac{1}{3} Q = \frac{4000 \cdot 9000}{Q} + 300 \cdot \frac{Q}{3} = \frac{36000000}{Q} + 100 Q (Q > 0) .$

最小化　 $C^{'} (Q) = - \frac{36000000}{Q ^{2}} + 100$ であり、 $C^{'} (Q) = 0$ より $Q^{2} = 360000$ 、 $Q > 0$ から $Q = 600$ である。 $0 < Q < 600$ で $C^{'} (Q) < 0$ 、 $Q > 600$ で $C^{'} (Q) > 0$ なので、 $C$ は $Q = 600$ で最小となる。
（相加平均・相乗平均の関係を使ってもよい： $\frac{36000000}{Q} + 100 Q \geq 2 36000000 \cdot 100 = 120000$ 。等号は $\frac{36000000}{Q} = 100 Q$ 、すなわち $Q = 600$ のとき成り立つ。）

このとき、段取り費用は $\frac{36000000}{600} = 60000$ 円、保管費用は $100 \cdot 600 = 60000$ 円で、合計は
$C (600) = 60000 + 60000 = 120000 （円） .$
一般式 $2 K D h (1 - \frac{D}{P}) = 2 \cdot 4000 \cdot 9000 \cdot 300 \cdot \frac{2}{3} = 14400000000 = 120000$ とも一致する。

よって求める最小値は $120000$ 円である。

別解

EPQモデル。需要 $D = 9000$ 、生産率 $P = 27000$ 、段取り費用 $S = 4000$ 、保管費用 $h = 300$ 。
生産中の在庫増加率は $P - D = 18000$ 個/年。1ロットの生産量 $Q$ のとき、最大在庫は $Q (1 - D / P) = Q \cdot \frac{2}{3}$ 。在庫は0から最大まで直線的に増え、その後0まで直線的に減るので、時間平均在庫は $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 Q}{3} = \frac{Q}{3}$ 。
年間費用 $C (Q) = S \frac{D}{Q} + h \frac{Q}{3} = \frac{4000 \cdot 9000}{Q} + 100 Q = \frac{3.6 \times 1 0 ^{7}}{Q} + 100 Q$ 。
相加相乗平均より最小値は $2 3.6 \times 1 0^{7} \cdot 100 = 2 3.6 \times 1 0^{9} = 2 \cdot 60000 = 120000$ 。( $3.6 \times 1 0^{9} = 36 \times 1 0^{8} = 6 \times 1 0^{4}$ )
このとき $Q = 3.6 \times 1 0^{7} /100 = 360000 = 600$ 。検算: $3.6 \times 1 0^{7} /600 = 60000$ 、 $100 \cdot 600 = 60000$ 、合計120000。よって最小値は120000円。

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