オペレーションズ・リサーチの問題

ある喫茶店では、コーヒー豆を袋単位で仕入れている。コーヒー豆の需要は年間 $2000$ 袋で、一年を通じて一定の割合で生じる。在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $500$ 円の発注費用がかかる。
• $1$ 袋を $1$ 年間保管すると $50$ 円の保管費用がかかる。
• 毎回 $Q$ 袋（$Q>0$）ずつ発注し、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に $Q$ 袋が一度に届く（調達期間は $0$、品切れは起こさない）。
• 発注費用と保管費用以外の費用は考えない。

$1$ 年間の発注費用と保管費用の合計を年間総費用とする。$Q$ を正の実数の範囲で動かすとき、年間総費用の最小値は何円か。

あるコーヒー焙煎所では、原料の生豆を年間 $6000\text{kg}$ 使う。使用は一年を通して一定の割合で進む。生豆は毎回 $Q\text{kg}$（$Q>0$ は実数）ずつ発注し、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $3000$ 円の発注費用がかかる。
• 発注した生豆は、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（納入までの期間は $0$ とみなし、品切れは起こさない）。
• 生豆 $1\text{kg}$ を $1$ 年間保管すると $100$ 円の保管費用がかかり、保管費用は平均在庫量に比例する。
• 生豆の購入代金は発注量によらないので考えない。

年間の発注費用と保管費用の合計（年間総費用）が最小になるように $Q$ を選ぶとき、年間総費用の最小値は何円か。

ある店舗では、ある部品を年間 $9000$ 個、一定の割合で販売している。この部品を仕入れるとき、$1$ 回の発注ごとに発注量によらず $2000$ 円の発注費用がかかる。また、部品の単価は $500$ 円で、$1$ 個を $1$ 年間保管するのにかかる在庫保管費用は単価の $20\%$ である。

発注はいつも同じ量 $Q$ 個（$Q>0$）ずつ行い、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に注文した部品が届く（リードタイム $0$、品切れは起こさない）ものとする。年間の発注費用と年間の在庫保管費用の和（部品の購入代金は含めない）を年間総費用とするとき、$Q$ を正の実数の範囲で動かしたときの年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある部品メーカーでは、ある部品の需要が年間 $3000$ 個あり、一定の割合で生じる。この部品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $200$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入され、納入までの時間は無視できる。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $40$ 円の保管費用がかかる。
• 欠品を許し、欠品した分は次の納入時にすべて補充する（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くごとに $120$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、各サイクルの最大欠品量を $S$ 個とすると、年間総費用は
$$f(Q,S)=\frac{200\cdot 3000}{Q}+\frac{40(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{120S^2}{2Q}$$
で表される。$Q$ を正の実数、$S$ を $0\le S<Q$ を満たす実数の範囲で動かすとき、$f(Q,S)$ を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間総費用の最小値（円）を、この順に組で求めよ。

ある工場では、ある部品を年間 $3600$ 個、一定の割合で使用している。この部品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入され、納入までの時間は無視できる。
• 部品 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $3$ 円の保管費用がかかる。
• 在庫切れ（欠品）を許し、欠品した分は次の納入時にすぐに補充される（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くと $6$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、最大欠品量を $S$ 個（$Q>0$, $0\le S\le Q$ とし、ともに実数として扱う）とすると、年間総費用は
$$C(Q,S)=\frac{400\cdot 3600}{Q}+\frac{3(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{6S^2}{2Q}\text{（円）}$$
で表される。$C(Q,S)$ を最小にする $Q$, $S$ と、そのときの年間総費用の最小値を、組 $(Q,S,\text{最小値})$ の形でこの順に求めよ。