オペレーションズ・リサーチの問題

ある喫茶店では、コーヒー豆を年間 $1600$ kg 使用する。使用は一年を通じて一定の割合で行われる。コーヒー豆の仕入れについて、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $5000$ 円の発注費用がかかる。
• 毎回 $Q$ kg ずつ発注し、発注したコーヒー豆は在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（品切れは起こさない）。
• コーヒー豆 $1$ kg を $1$ 年間保管するのに $400$ 円の保管費用がかかる。保管費用は平均在庫量 $\frac{Q}{2}$ kg に対してかかるものとする。
• 年間総費用は、年間の発注費用と年間の保管費用の和とする（豆の購入代金は発注量によらないので含めない）。

$Q$ を正の実数として、年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある喫茶店では、コーヒー豆を袋単位で仕入れている。コーヒー豆の需要は年間 $2000$ 袋で、一年を通じて一定の割合で生じる。在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $500$ 円の発注費用がかかる。
• $1$ 袋を $1$ 年間保管すると $50$ 円の保管費用がかかる。
• 毎回 $Q$ 袋（$Q>0$）ずつ発注し、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に $Q$ 袋が一度に届く（調達期間は $0$、品切れは起こさない）。
• 発注費用と保管費用以外の費用は考えない。

$1$ 年間の発注費用と保管費用の合計を年間総費用とする。$Q$ を正の実数の範囲で動かすとき、年間総費用の最小値は何円か。

ある店舗では、ある部品を年間 $9000$ 個、一定の割合で販売している。この部品を仕入れるとき、$1$ 回の発注ごとに発注量によらず $2000$ 円の発注費用がかかる。また、部品の単価は $500$ 円で、$1$ 個を $1$ 年間保管するのにかかる在庫保管費用は単価の $20\%$ である。

発注はいつも同じ量 $Q$ 個（$Q>0$）ずつ行い、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に注文した部品が届く（リードタイム $0$、品切れは起こさない）ものとする。年間の発注費用と年間の在庫保管費用の和（部品の購入代金は含めない）を年間総費用とするとき、$Q$ を正の実数の範囲で動かしたときの年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある工場では、ある部品を年間 $3600$ 個、一定の割合で使用している。この部品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入され、納入までの時間は無視できる。
• 部品 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $3$ 円の保管費用がかかる。
• 在庫切れ（欠品）を許し、欠品した分は次の納入時にすぐに補充される（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くと $6$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、最大欠品量を $S$ 個（$Q>0$, $0\le S\le Q$ とし、ともに実数として扱う）とすると、年間総費用は
$$C(Q,S)=\frac{400\cdot 3600}{Q}+\frac{3(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{6S^2}{2Q}\text{（円）}$$
で表される。$C(Q,S)$ を最小にする $Q$, $S$ と、そのときの年間総費用の最小値を、組 $(Q,S,\text{最小値})$ の形でこの順に求めよ。

ある工場では、ある部品を自社の生産ラインで製造している。この部品の需要は年間 $9000$ 個で、一定の割合で生じる。部品の生産と在庫について、次を仮定する。

• 生産中は部品が年間 $27000$ 個の一定の割合で完成し、完成した部品はただちに在庫に加わる。生産中も需要は同じ割合で生じ続ける。
• $1$ 回の生産（ロット）ごとに、生産量によらず $4000$ 円の段取り費用がかかる。
• 部品 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $300$ 円の保管費用がかかり、保管費用は在庫量の時間平均に比例する。
• 品切れは許さず、在庫がちょうど $0$ になった時点で次の生産を始める。毎回の生産量は同じ $Q$ 個とし、$Q$ は正の実数として扱ってよい。

$1$ 年あたりの段取り費用と保管費用の合計の最小値（円）を求めよ。